Консультация онлайн # 203098

Раздел: Физика
Автор вопроса: physi (Посетитель)
Дата: 16.08.2022, 19:28 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас помочь мне в следующем вопросе:

Спутник движется по круговой орбите на высоте h=500 км вокруг сферической планеты радиусом R=6000 км, лишённой атмосферы. Двигатели спутника включаются на небольшое время, работая на торможение. Найдите минимальное уменьшение скорости спутника (в процентах от начального значения), которое позволит спутнику попасть на поверхность планеты. Ответ округлите до десятых.
Здравствуйте, physi !
Дано: Радиус планеты R = 6000 км, высота круговой орбиты h = 500 км над поверхностью планеты.
Вычислить минимальное уменьшение δV скорости спутника в %% от начального значения, при кот-м спутник коснётся планеты.

Решение: Читаем учебно-методическую статью "Закономерности Кеплеровых движений" от С-Петербургского университета Ссылка . Там на стр26 в §11 "Активное маневрирование - возвращение с орбиты" рассмотрено решение задачи, очень похожей на Вашу (цитирую) "рассмотрим задачу перехода корабля с круговой орбиты на траекторию снижения. Для безопасного возвращения на Землю вход спускаемого аппарата в атмосферу должен происходить под малым углом. Крутой спуск чреват чрезмерными тепловыми нагрузками, предъявляющими высокие требования к теплозащитному экрану спускаемого аппарата, и опасными для космонавтов перегрузками, возникающими при быстром торможении. Это значит, что пассивная траектория снижения должна касаться границы плотных слоев атмосферы.".

В Условии Вашей задачи планета лишена атмосферы, и требования Безопасного снижения отсутствуют. Тем не менее, критерий "пассивная траектория снижения должна касаться поверхности планеты" актуален для обеих задач, чтоб вычислить именно минимальное уменьшение δV скорости спутника.

Я не буду тратить своё время и Ваше внимание на переписывание / перечитывание скурпулёзного вывода изящной формулы:
Минимально-необходимое уменьшение скорости спутника ΔV = Vc·{1 - √[2 / (1 + r / R)]}
Здесь r = R + h - радиус начальной круговой орбиты спутника; Vc - начальная круговая скорость спутника на этой орбите.
Искомое уменьшение скорости в %% получим как δV = (ΔV / Vc)·100%

Вы можете вычислять любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…).
Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад. Маткад-скриншот с вычислениями и графиком прилагаю. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом, чтобы Вам было всё понятно.
Ответ: Минимальное уменьшение скорости спутника равно 2,0 %.

Вы просили поделиться с Вами html-копией выше-упомянутой учебной статьи. Прилагаю архив с копией.
Прошу прощения за нестандартные сокращения и возможные грамматич ошибки в этой копии (Я создавал эту копию для себя, процесс копирования текст-слоя из pdf-документа плодит много ошибок. Часть ошибок я исправил, некоторые не заметил).
ЗакономерностиКеплеровыхДвижений.rar (14.62 кБ)
Сокращения типа ^G=5 означают, что для сверки абзаца копии с pdf-оригиналом надо в окне программы просмотра pdf-документа нажать клав-сочетание Ctrl+G , затем в открывшемся мини-диалоговом окне на запрос номера страницы ввести "5" для мгновенно-безвредного впрыгивания на pdf-страницу 5 (прокрутка экрана сильно вредит глазам, особенно стариковским). Вы можете подредактировать html-копию, если откроете её не браузером (по-умолчанию), а в каком-нибудь текстовом редакторе типа Блокнот / Notepad.
Создание копии закончено НЕ полностью, делюсь с Вами тем, что имею. =Удачи Вам!

Последнее редактирование 22.08.2022, 10:16 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
20.08.2022, 14:25
5

Мини-форум консультации # 203098

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326799

= общий =    17.08.2022, 02:03
Запрошенная Вами задача уже рассматривалась в консультации rfpro.ru/question/202865 (Ссылка) . Но там проситель сбежал, и эксперты не стали тратить время на завершение решения.
Алгоритм решения прост: Спутник в результате торможения теряет скорость и переходит на эллиптическую орбиту. Спутник резко приближается к планете, при этом его скорость увеличивается. Если торможение было недостаточным, то спутник на огромной скорости проносится над самой поверхностью планеты, и по инерции поднимается на прежнюю высоту. Цикл повторяется бесконечно.
При достаточном торможении спутник чиркнет по поверхности планеты с увеличенной скоростью, реализуя мутную фразу Условия "попасть на поверхность".
Дальше сами справитесь?
physi

Посетитель

ID: 405583

326802

= общий =    17.08.2022, 10:32
Не особо понятно, как рассчитать необходимую величину в данном случае, почему скорость будет минимальна. Я пришёл к тому, что: mv(min)^2/r = mv^2/R; v(min)^2/v^2=r/R, где r - радиус кривизны эллипса в точке, на которой находится корабль. Как я понимаю, эта точке находится на конце большой полуоси, значит если a - длина большой полуоси, а b - длина малой, то r = b^2/a. И вот здесь становится не понятно, какие a и b брать. Очевидно, чем a меньше и b больше, тем нам лучше, но эти значения не должны превосходить каких-то определённых величин, иначе задача теряет смысл, мы можем подобрать любые значения. Если как вы написали корабль касается планеты, то 2a = R + h(R - радиус планеты, h - высота корабля над поверхностью, равная из условия 500км). Дальше вот не могу ничего сделать
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326803

= общий =    17.08.2022, 11:15
Вы как-то неряшливо пишете "2a = R + h(R - радиус планеты" , это вызывает психологическое желание "убежать" от работы с Вашей задачей, потому что Вы НЕ стараетесь вникнуть в суть и корректно обмениваться идеями в дистанционном общении. Разве Вам трудно написать в легко-читаемом обще-принятом виде типа
"2*a = R + h , где R - радиус планеты…"

"почему скорость будет минимальна" - это Ваш вопрос? Вам трудно затратить пол-секунды дописать ЗнакВопроса?
Совредоточтесь: В Условии задачи запрошено "минимальное уменьшение скорости спутника", а не минимальная скорость. Напрягите воображение и представьте: Если "уменьшение скорости спутника" будет нулевым, то спутник останется на круговой орбите навечно.

Если "уменьшение скорости" будет НЕнулевым, но слишком малым, то спутник перейдёт на эллиптическую орбиту, но НЕ достигнет поверхности планеты.
При чрезмерном торможении спутник врубится в планету изза того, что малая полуось эллипс-орбиты окажется меньше радиуса планеты.

Вы правильно поняли : "корабль касается планеты" - это и есть критерий вычисления минимального уменьшение скорости.
Вы читали консультацию rfpro.ru/question/202865 ? Там модератор Konstantin Shvetski уже начал решение. Я ещё НЕ вникал в Вашу задачу. Интуиция подсказывает мне, что надо применить законы Кепплера и СохраненияЭнергии. Вероятно придётся решать систему уравнений.
physi

Посетитель

ID: 405583

326804

= общий =    17.08.2022, 15:08
У меня остался один вопрос. Вот мой ход решения:

(1) m*v(min)^2/r = G*M*m/R^2, где m - масса корабля, r - радиус кривизны эллипса в точке, в которой находится спутник, M - масса планеты, R - радиус планеты;
* G*M*m/R^2 = F, где F - сила Всемирного тяготения, G - специальный коэффициент, для всех тел одинаковый;
* v(min) ^ 2/r = a, где a - центростремительное ускорение, а v(min) - скорость движения по окружности радиуса r;

(2) m*v^2/R = G*M*m/R^2, где v - скорость планеты, когда она двигалась по круговой орбите;

Из (2) и (1) находим:

m*v^2/R = m*v(min)^2/r;

(3) v(min)^2/v^2 = r/R;
* v(min)/v = √r/√R

При минимальном снижении скорости спутник коснётся планеты в точке, в которой находится конец большой полуоси. Тогда значение радиуса кривизны, вычисляется по формуле:

r = b^2/a, где a - длина большой полуоси, а b - длина малой, *я использую данную формулу, потому что как я уже говорил, спутник находится в конце большой полуоси, и для данной точки радиус кривизны вычисляется именно по этой формуле;

Длина большой полуоси:

a = (2 * R + h) / 2;

И вот единственное, что я не могу найти, это длина малой полуоси. Я предположил, что центр планеты находится в фокусе эллипса, тогда мы можем найти расстояния от нашего спутника до планеты в точках перицентра и апоцентра, а затем и интересующую нас b из формулы:

b = √(Rа * Rп), где Rа - расстояние до центра планеты в апоцентре, а Rп - расстояние до планеты в перицентре;

Rа = R + h,

Rп = R;

Подставляя всё в (3), и вычитая из единицы данное выражение, чтобы получить требуемую в условии величину, получаем:

(v - v(min))/v = 1 - √((R*(R+h)/((2R + h) / 2))/R); * здесь я из единицы вычитаю v(min)/v, которую мы вычислили в (3). 1 - v(min) / v - величина, которую нас и просят найти в условии, после вычислений нам останется только умножить её на 100, чтобы получить значение в процентах. v(min) / v - это во сколько раз v(min) меньше v;

(v - v(min))/v = 1 - √((R+h)/(R+h/2)) ;

Но данное выражение меньше нуля. Помогите, пожалуйста, разобраться с дальнейшим решением.
physi

Посетитель

ID: 405583

326805

= общий =    17.08.2022, 15:11
Не знаю почему, но знак корня квадратного в уравнениях превращается в вопросительный знак
physi

Посетитель

ID: 405583

326806

= общий =    17.08.2022, 16:41
Извините, пожалуйста, забыл отметить, что v(min) - скорость после торможения.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326807

= общий =    17.08.2022, 17:01
Вы писали : "где m - масса корабля" - в Условии задачи нет никакого корабля. Вы хотите сэкономить своё время, торопитесь, отправляете ошибки, но это приводит к обратному эффекту, наша общая работа замедляется изза недопонимания друг друга.

"Не знаю почему, но знак корня квадратного в уравнениях превращается в вопросительный знак" - в лаконичной 1-Байтной кодировке Windows-1251 (ANSI) можно изобразить всего 256 символов (цифры, латиница, рус-кириллица, знаки пунктуации…). Символы радикала (знак корня квадратного), интегралов, греческие буквы и прочие ВнеANSI можно изобразить т-ко в расширенной 2х-Байтной кодировке Юникод (65 тыс символов) либо её разновидности utf-8 . 99% всех сайтов давно перешли в кодировку utf-8 , но программа сервера rfpro.ru устарела и заменяет все ВнеANSI-символы на вопросики либо квадратики.

Чтоб изобразить радикал-символ или прочие ВнеANSI , кликните по белому значку "+" в правой части ниже-заголовка "Пост в мини-форум". Сервер откроет Вам ДопПанель форматирования. Кликните на этой панели значок радикала, и сервер вставит в поле Вашего будущего сообщения BB-код [$8730$] , который после отправки авто-заменится на радикал.
Вы можете вместо отправки нажать кнопку "ПредПросмотр", и тогда сервер покажет Вам 2 поля: Поле кодов и поле Результат. Поле кодов доступно для редактирования (правки). После правки снова жмите ПредПросмотр увидеть правленный результат. В конце правки не забудьте нажать "Отправить" для публикации. Подробнее см "Использование BBCode" Ссылка

Ваше решение я не понимаю, потому что я давно забыл формулы астрономии, а Вы не потрудились пояснить подробно, откуда Вы взяли свои формулы и почему используете именно их?

Чтобы решить Вашу задачу, мне надо найти учебно-методическую статью, максимально подходящую к теме Вашей задачи.
Сообщите, откуда Вы взяли свою задачу, и какую тему Вы проходили перед получением задачи? Тогда я быстрее вспомню теорию и смогу решить Вашу задачу.
У нас уже полночь по Владивостоку. До завтра. smile
physi

Посетитель

ID: 405583

326808

= общий =    17.08.2022, 18:09
Слегка подкорректировал своё предыдущее сообщение, отметив "*" новый текст моего сообщения.
Данная задача взята из модуля "Небесная механика" курса от Сириус "Динамика и статика". Вот ссылки на видео с теорией, которая давалась в модуле:
https://youtu.be/V2YSadM02Rc - "Круговые орбиты"
https://youtu.be/ndYlmEnZ4Wo - "Примеры решения задач"
https://youtu.be/ErYHgqtEf7Q - "Некруговые орбиты. Первый и третий законы Кеплера"
https://youtu.be/pknx6OyY-ng - "Радиусы кривизны эллипса"
https://youtu.be/X8rLK2wEou4 - "Примеры решения задач. Второй закон Кеплера"
До завтра smile
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326810

= общий =    18.08.2022, 08:37
Спасибо Вам за ссылки, но я не могу учиться много-кратным повтор-просмотром видео, тк в нашем поселении медленный и ограниченный интернет от сотового оператора Билайн.

"задача взята … от Сириус" - я так и догадывался. У этой конторы половина задач либо ошибочно-бессмысленные (rfpro.ru/question/203071 (Ссылка)) , либо воровские ( rfpro.ru/question/197893 ) либо убийственные (как в Вашем случае, где в действии "спутнику попасть на поверхность планеты" убъётся спутник и всё, что в нём находится, на огромной скорости удара). Сириус-преподы ничему не учат, а лишь выдумывают НЕпрактично-бесполезные задачки и взимают деньги за якобы учёбу.

Можно понять Сириус-халтурщиков: в наше время падения нравов пол-Москвы заражено мошенничеством, чтоб ничего не делая, получать "бабки". Но я не понимаю Вас и других учеников, которые платят этим проходимцам и ищут помощников на стороне. А достаточно всего лишь хорошо поискать, и Вы найдёте нормальную задачу по этой же теме, да ещё с подробным разбором.

Я затратил несколько часов на поиски, и нашёл Решение задачи, очень похожей на Вашу в учебной статье "Закономерности Кеплеровых движений" от С-Петербургского универа Ссылка3 . Там на стр 26 в §11 "Активное маневрирование - возвращение с орбиты" Вы найдёте (цитирую) "рассмотрим задачу перехода корабля с круговой орбиты на траекторию снижения. Для безопасного возвращения на Землю вход спускаемого аппарата в атмосферу должен происходить под малым углом. Крутой спуск чреват чрезмерными тепловыми нагрузками, предъявляющими высокие требования к теплозащитному экрану спускаемого аппарата, и опасными для космонавтов перегрузками, возникающими при быстром торможении. Это значит, что пассивная траектория снижения должна касаться границы плотных слоев атмосферы." - очень полезный материал для астронавтов и всех исследователей Космоса.

Я могу уже приступить к Решению Вашей задачи. Но, может быть, Вы сами хотите почувствовать себя победителем?
physi

Посетитель

ID: 405583

326811

= общий =    18.08.2022, 13:49
Вы наверно что-то перепутали. Сириус - абсолютно бесплатный. Но вот со странными формулировками задач я согласен, бывает такое. Но всё-таки Сириус готовит в основном к олимпиадам, а там бывают ещё и более странные условия.
Спасибо за ссылку и всю помощь в целом! Задачу я уже сам смогу доразобрать думаю.
physi

Посетитель

ID: 405583

326812

= общий =    18.08.2022, 13:51
Мне надо что-то сделать? Отметить как-нибудь, что вопрос закрыт?
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326813

= общий =    18.08.2022, 15:16
"Сириус - абсолютно бесплатный" - я приятно удивлён, Спасибо за поправку! Перепутать мне было НЕ с чем. Сириус - единственный из популярных источник шизанутых задач. Вот и Вам досталась настолько НЕреальное соотношение высоты h = 500 км и радиуса R = 6000 км, что я построил график - и все 3 кривые почти сливаются. Для сравнения : 6000 км - это почти радиус Земли. А все гео-стационарные спутники (ТВ, интернет, слежение) вращаются над экватором на высоте нескольких земных радиусов (>> h !). Им там уже тесно.

"Отметить как-нибудь, что вопрос закрыт?" - По традициям Портала rfpro.ru все консультации деактивятся программно. Так что не беспокойтесь, решайте свою задачу.
Вам для страховки сообщаю свой Ответ δV = 2,0% (легче жить, когда есть с чем сравнить). =Удачи!
physi

Посетитель

ID: 405583

326814

= общий =    18.08.2022, 16:56
Спасибо!
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326817

= общий =    19.08.2022, 14:13
Вы писали : "единственное, что я не могу найти, это длина малой полуоси" - мне тоже стало интересно вычислить длину малой полуоси и прочие параметры траектории спутника. Мы привыкли, что когда мы тормозим при езде на велосипеде / мотоцикле, то наша скорость однозначно уменьшается. А тут получается ситуация парадоксальная: Летал спутник по круговой орбите неопределённое время со скоростью Vc . Затем в точке A (Апогей) его тормознули, скорость чуть уменьшилась до VA. Но в результате замедления спутник перешёл на эллиптич орбиту, стал снижаться с ускорением. И в итоге его величина скорости в Перигей-точке P не только восстановилась, но и стала VP на 6 % больше исходной!

Я даже график начертил для лучшего понимания. Но Ваш преподаватель задал в Условии такую малую высоту h, что кривые слились на графике. Для лучшего обзора я удвоил высоту h для графо-построения. Мой вычислитель Маткад (ссылка1) мигом всё пере-считал и перестроил. Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с графиком прилагаю .
(Рисунок дополнен расчётами и перемещён в форму Ответа 21авг2022)
Также мне было интересно узнать круговую скорость и Период обращения спутника. Но в Условии не заданы ни Масса планеты, ни её плотность. Я подставил в вычисление плотность Земли. И получил скорость, близкую к первой космической (значит, я вычислил без ошибок), а период обращения оказался полтора часа всего изза слишком малой высоты h . Когда я работал в хабаровском ВостокИнфоКосмос, нас учили : чтоб теле-коммуникационный спутник находился на стабильных небесных координатах (чтоб тарелки-антенны не теряли его), он должен обращаться над экватором в направлении вращения Земли, на высоте 36 тыс км (см Ссылка2 ).
physi

Посетитель

ID: 405583

326818

= общий =    19.08.2022, 20:02
Большое спасибо за всю информацию! Внимательнее перерешал задачу, и ответ сошёлся с вашим, даже не пришлось прибегать к статье, которую вы скидывали. Но тем не менее в ближайшее время её тоже изучу. За скриншот из маткада тоже благодарен, всё наглядно.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326819

= общий =    20.08.2022, 01:30
НаЗдоровье Вам! Заходите, когда будет нужно.
Статья г-на Бутикова (по выше-ссылке N3) чрезвычайно полезна в учебном смысле. Процессы полёта / снижения описаны простыми, доходчивыми терминами (в отличие от аналогичных заумных статей с функциями Лагранжа, гиперболич-синусами от МФТИ). Статья избавила меня от скурпулёзного вывода простой формулы и свела Решение к 3м простым строчкам вычислений.

К сожалению, эта замечательная статья досталась дураку-верстальщику, кот-й запихал полезный материал в pdf-документ с текстовым слоем, закодированным в древней кодировке Кириллица \ KOI8-R (времён СССР-коммунизма). В результате поиск по фразам в этом файле ограничен цифрами и латинами, а копия текста из докума в обычный ТекстовыйДокумент отображается кракозябрами. Мне пришлось повозиться много часов, чтоб создать копию в стандартном html-формате, в кот-м работают РусПоиск, ссылки и картинки. Могу поделиться.
physi

Посетитель

ID: 405583

326821

= общий =    20.08.2022, 10:04
Да, поделитесь, пожалуйста.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.