Условие: В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC основание AC = 24 см, высоты пересекаются в точке M . ВM = 7.
Вычислить радиус R вписанной окружности .
Решение: В Условии не указано конкретно, которые стороны треугольника равны? Пусть AB = BC, и угол ABC должен быть острым.
Поместим треугольник в прямоугольную систему координат xOy так, чтобы в начале координат оказалась середина стороны AC .
Тогда координаты вершин будут A(-12 ; 0), B(0; h), C(12 ; 0) , где h - пока ещё НЕизвестная нам высота треугольника, опущеная из вершины B перпендикулярно стороне AC .
Точка M получает координаты (0, h - BM) = (0, h - 7)
Продолжим отрезок AM до точки E - пересечение со стороной BC .
Поскольку точка M есть центр пересечения высот, значит отрезки ВС и AE - перпендикулярны, и произведение их угловых коэффициентов равно -1 .
По угловому коэффициенту прямой AE , проходящей ч-з вершину A составляем уравнение прямой AE . А подставив в это уравнение координаты точки M , получаем одно уравнение с одним неизвестым h .
Решать это уравнение Вы можете любым удобным Вам способом. Я решаю и вычисляю я в приложении
Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Маткад возвратил 2 корня уравнения : h
1 = 16 и h
2 = -9 .
Первый корень удовлетворяет Условию "
угол ABC должен быть острым", при этом искомый радиус вписанной окружности
R = 6 . Центр окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Биссектриса AG делит угол BAC пополам, и тангенс этого половинного угла даёт нам искомое R-значение.
Второй корень h
2 = -9 переворачивает наш треугольник "вниз головой", вершина B получает координаты (0 ; -9), радиус вписанной окружности R = 4 . Однако, точка M(0 ; -16) пересечения высот оказывается вне треугольника, а тупой угол ABC противоречит Условию задачи.
Ответ : радиус вписанной окружности равен 6 см.