Здравствуйте, YAVTA!


Площадь треуголька ABC равна S = 30 + 15 + 7 + 18 = 70. Обозначим x = AK/KB, y = AM/MC, z = CL/LB.
Выразите площади S и S_AKM через синус угла A и прилежащие стороны.
S = AB*AС*sin(A)/2; S_AKM = AK*AM*sin(A)/2,
S/S_AKM = AB*AC/(AK*AM) = ((AK + KB)/AK)*((AM + MC)/AM) = (1 + KB/AK)*(1 + MC/AM) = (1 + 1/x)*(1 + 1/y) = 7/3
Аналогично находим:
S/S_CLM = BC*AC/(LC*CM) = ((BL + LC)/LC)*((AM + MC)/MC) = (1 + BL/LC)*(1 + AM/MC) = (1 + 1/z)*(1 + y) = 14/3
S/S_BKL = AB*BC/(KB*BL) = ((AK + KB)/KB)*((BL + LC)/BL) = (1 + AK/KB)*(1 + LC/BL) = (1 + x)*(1 + z) = 10
В результате имеем систему уравнений:
(1 + 1/x)*(1 + 1/y) = 7/3
(1 + 1/z)*(1 + y) = 14/3
(1 + x)*(1 + z) = 10
Из второго и третьего уравнений: y = (11*z - 3)/(3*z+3); x = (9-z)/(1+z).
Подставляем в первое уравнение:
(1+(1+z)/(9-z))*(1+(3z+3)/(11z-3)) = 7/3.
После преобразований получим квадратное уравнение с корнями z1=3, z2 = 9/11.
В результате получим два решения:
x1 = 3/2; y1 = 5/2; z1 = 3;
x2 = 9/2; y2 = 11/10; z2 = 9/11.

Проверьте внимательно вычисления.