Консультация онлайн # 202606

Раздел: Физика
Автор вопроса: Ира (Посетитель)
Дата: 14.04.2022, 11:13 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Мeтaлличeский шap paдиyсoм R=5 cм oкpyжeн рaвнoмepнo cлoeм фapфoрa тoлщинoй d=2 см. Oпрeдeлить пoвepхнocтныe плoтнocти σ1 и σ2 cвязaнных зaрядoв сooтвeтcтвeннo нa внyтрeннeй и внeшнeй пoвeрхнocтях диэлeктpикa. Зapяд Q шaра paвeн 10 нKл.
Последнее редактирование 15.04.2022, 12:58 Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Здравствуйте, Ира !
Условие: Зapяд металлического шaра Q = 10·10-9 Kл, paдиyс шapа R = 0,05 м, тoлщина oкpyжающего cлoя фapфoрa d = 0,02 м.
Вычислить пoвepхнocтныe плoтнocти σ'1 и σ'2 cвязaнных зaрядoв сooтвeтcтвeннo нa внyтрeннeй и внeшнeй пoвeрхнocтях диэлeктpикa.

Решение : Пусть Диэлектрическая проницаемость фарфора ε = 5 (так принято почему-то в учебных задачах).
Из более двух десятков вариантов Решений, изученных мною в университетских "методичках", наиболее изящным мне показался разбор в учебной статье "Практикум-Решебник ЭлектроМагнетизм" Ссылка1 (от Московский гос-университет им.Ломоносова). Следуем рекомендации его Примера3.6 на странице 49:

Аннотирую : Проведем произвольную сферическую поверхность радиусом "r" , концентрическую с заданной в условии задачи. Электрическое поле вокруг сферы обладает сферической симметрией, то есть, вектор индукции электрического поля D направлен по радиусу сферы. Для получения связи Потока вектора индукции D через выбранную поверхность S с внутренним зарядом Q применим теорему Гаусса:
Поток вектора индукции D через сферу s∮D·S = s∮D·S = D(r)·s∮S = D(r)·4·π·r2
Здесь интегрирование ведётся по поверхности сферы радиусом r с одинаковым значением D(r). Поэтому можно D(r) вынести из-под знака интеграла, как константу, а интеграл по контуру S равен площади сферы S = 4·π·r2 (как учили в школе).

Согласно теореме Гаусса этот поток равен заряду, заключённому внутри выбранной сферы. То есть
D(r)·4·π·r2 = Q
Таким образом, поток D = Q / (4·π·r2) при r > R (вне металлического шара),
но D = 0 при r < R (внутри металла Напряжённость поля нулевая, тк потенциалы во всех точках равны).

Вектор напряжённости E вне диэлектрика равен E = D / ε0 , а внутри диэлектрика E = D / (ε·ε0) . Иными словами, вектор напряжённости электрического поля задаётся и свободными и связанными зарядами. Сказанное хорошо иллюстрируют картинки силовых линий.
Методичка советует применить следующий приём: Напряжённость электрического поля в произвольной точке внутри диэлектрика равна
E = Q / (4·π·ε·ε0·r2) . Представим, будто диэлектрика нет, но заменим связанные заряды q' свободными, и найдём напряжённость электрического поля, создаваемого всеми зарядами.
Получим E = (Q - q') / (4·π·ε0·r2) . Приравнивая правые части этих уравнений, получим
Q / ε = Q - q' , откуда q` = Q·(1 - 1/ε)

Осталось вычислить искомые пoвepхнocтныe плoтнocти связанных зарядов:
σ'1 = -q' / S1 = -q' / (4·π·R2) = -0,255 мкКл / м^2  ,  σ'2 = q' / S2 = q' / (4·π·(R+d)2) = 0,130 мкКл / м2

Я выполнил вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с поясняющей картинкой прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Проверку Вы уже сделали сами, показав нам в своей первой консультации rfpro.ru/question/202368 альтернативное Решение на странице Ссылка4 .

Для более точного решения я зачитал значение диэлектрической проницаемости фapфoрa на солидном сайте wiki-Ссылка5 . Там в абзаце "Статическая диэлектрическая проницаемость материалов (таблица)" надо кликнуть кнопку "Показать". Для Фарфор-ε = 4,5-4,7 , и тогда
Ответ: σ'1 = -0,249 мкКл / м2 , σ'2 = 0,127 мкКл / м2 (незначительное отличие от первого варианта). =Удачи!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
17.04.2022, 16:26
5
СПАСИБО ВАМ ОГРОМНОЕ!!!!!!!!! Если бы не ВЫ..

Мини-форум консультации # 202606

Ира

Посетитель

ID: 405891

325593

= общий =    15.04.2022, 15:01
Экспертам раздела
σ'1 σ'2
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325595

= общий =    15.04.2022, 15:44
По-моему, Вы уже 4й раз подсовываете бедным экспертам эту совершенно НЕпрактичную (и поэтому бесполезную) задачу (rfpro.ru/question/202368 Ссылка, rfpro.ru/question/202495 , rfpro.ru/question/202525 . Я ~40 лет работал успешным инж-электронщиком, пере-паял десятки тысяч конденсаторов самых разных типов, но ни разу видел слоёную заряженую сферу изза её никому-не-нужности и не-технологичности.).
Завтра я решу Вашу rfpro.ru/question/202612 , а на следующий день планирую текущую задачу
Ира

Посетитель

ID: 405891

325596

= общий =    15.04.2022, 16:00
Буду безмерно благодарна Вам, если Вы наконец то поможете разобраться с данной задачей
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.