Условие: В пирамиде SABCD ребро SD перпендикулярно основанию ABCD, высота SD = H = 6 ,
Основание-ромб ABCD имеет диагонали BD = 3, AC = 2 .
2 параллельные плоскости сечения имеют равные площади и проходят одна ч-з точку B, а другая - ч-з диагональ AC.
Вычислить отношения отрезков ребра SD, разделенного сечениями, расстояние м-ду плоскостями сечений,
объёмы многогранников, на кот-е пирамида разделена плоскостями сечений.
Решение: Вспоминаем формулы школьной геометрии: Площадь Ромба : S = d
1·d
2 / 2 , где d
1, d
2 - его диагонали.
Объём пирамиды V = (1/3)·S
осн·h , где S
осн и h площадь основания и высота пирамиды соответственно.
Используем формулы из замечательной учебной статьи "Уравнение плоскости. Задачи иРешения"
Ссылка1 .
Расстояние м-ду 2мя параллельными плоскостями
[$963$]
1 : A·x + B·y + C·z + D
1 = 0 , [$963$]
2 : A·x + B·y + C·z + D
2 = 0 выражается формулой:
[$961$] = |D
2 - D
1| / [$8730$](A
2 + B
2 + C
2)
Расстояние от точки M
0(x
0 ; y
0 ; z
0) до плоскости [$963$] : A·x + B·y + C·z + D = 0 выражается формулой
[$961$](M
0 ; [$963$]) = |A·x
0 + B·y
0 + C·z
0 + D| / [$8730$](A
2 + B
2 + C
2)
А начинаем работу с чертежа. Четёж и вычисления я сделал в популярном приложении
Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Теперь надо согласно Условию приравнять площади обоих сечений. Однако, вычислять площадь 4х-угольника BQFM слишком трудоёмко на текущей стадии решения, поскольку при попытке получить координаты вершины M на пересечении ребра SA с плоскостью сечения [$946$] Маткад возвращает очень громоздкие выражения. Для упрощения решения предположим, будто треугольники BFM и BFQ равны, и вместо площади 4х-угольника используем удвоенную площадь треугольника BFQ . По окончании Решения у нас вместо имён переменных будут их числовые значения, и Маткад сделает проверку легко.
МаткадКонструкция Q := Уравнение
solve,z означает: Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной z, и затем присвоить полученный результат в переменную Q .
Оператор stack(A, B, C, …) объединяет числовые данные в вектор-столбец.
Ответ: ребро SD делится сечениями на 3 равные части.
Расстояние м-ду плоскостями сечений равно 1,2 ед. Объёмы 3х многогранников равны 1 , 4 и 1 ед
3 соответственно, считая сверху-вниз. =Удачи!