Условие: Длина ребра основания призмы AB = AC = BC = a = 6, высота h = 3 / √7 . AP = 1, A₁F = 3 , BK = KB₁ .
Вычислить площадь сечения S и угол м-ду плоскостью основания призмы и плоскостью сечения β .

Решение: Начертим призму в Декартовой системе координат OXYZ с таким разворотом, чтобы плоскость сечения была видна нам под наилучшим углом обзора (не боком). В начало координат поместим точку A(0; 0; 0).
В треугольнике ABC правильной треугольной призмы все углы равны α = π/3 = 60°. Sin(60°) = √3 / 2 .
Отмерим от точки A координаты прочих вершин призмы: A₁(0; 0; h), B(a; 0; 0), B₁(a; 0; h), C(a/2; a·√3 / 2; 0), C₁(a/2; a·√3 / 2; h).

Поскольку AP = 1 = AC / 6 , то координаты точки P будут как 1/6 от координат вершины C, то есть P(a/12; a·√3 / 12; 0).
Тк A₁F = 3 = a/2 , то XY-координаты точки F будут как 1/2 от XY-координат вершины C₁, то есть F(a/4; a·√3 / 4; h) .
Точка K наследует координаты вершины B₁, но с половинной аппликатой: K(a; 0; h/2) .
Сечение - плоскость β - имеет форму 5-угольника. Вычислять его площадь будем как сумму его 3х треугольников.
Для вычисления координат точек M и Q (на пересечении β с рёбрами AB и B₁C₁) надо сначала получить уравнение плоскости β .

Работаем по алгоритму учебной статьи "Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Задачи иРешения" Ссылка1 . Читаем: ВекторНормали плоскости β - это вектор, кот-й перпендикулярен этой плоскости. Вычисляем ВекторНормали как Векторное произведение. Вычисления очень громозкие и трудоёмкие, в них легко ошибиться. Чтоб избавить себя и Вас от ошибок, я делаю сложные вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад-скриншот с чертежом прилагаю. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Маткад отображает формулы точно так же, как стандартные математические редакторы формул с некоторыми непривычными операторами. Поясняю их смысл, чтоб Вы не испугались:
Выражение Qx := Уравнение solve,x означает Решить Уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной x , а результат присвоить в переменную Qx .
Символ = - вывести на экран в числовом виде. Символ → - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).
Оператор stack(A, B, C, …) объединяет числовые данные в вектор/массив. Simplify - упростить.
Косой крест - Векторное умножение, Серединная точка - скалярное или обычное умножение.
Вы можете заменить мои вычисления любым удобным Вам способом (в тч используя OnLine-калькуляторы).

Ответ: площадь сечения равна 39/4 кв.ед, угол м-ду плоскостями основания призмы и сечения равен 30°.
Чертёж пришлось растянуть по вертикали, чтоб линии и надписи не сливались.
Я сделал в Маткаде проверку вычисления площади по формулам Герона, оба значения площади совпали. Если Вам нужен скриншот проверки (он тоже большой по размеру), я могу опубликовать его ниже.

Последнее редактирование 02.04.2022, 02:13 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)