Условие: Координата частицы x = A·cos[(2·[$960$]/T)·t] , моменты времени t₁ = T/8 , t₂ = T/4 .
Вычислить путь S, пройденный за промежуток времени от t₁ до t₂ .

Решение: Читаем определение : "Путь S - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: S > 0 " - цитата из учебника "Физика в средней школе", Аксенович, Ракина.pdf Ссылка1 19,7 МБ, стр 6.

Уравнение движения косинусоиды в общем виде: x(t) = A·cos([$969$]·t + [$966$]₀) или x(t) = A·cos[(2·[$960$]/T)·t + [$966$]₀] ,
где [$969$] = 2·[$960$] / T - угловая частота, T - период колебания, [$960$] = 3,14 - константа.
В Условии не задана начальная фаза [$966$]₀ , полагаем по-умолчанию, будто [$966$]₀ = 0.
Тогда координата частицы в момент времени t₁ = T/8 будет
x(t₁) = A·cos[(2·[$960$]/T)·t₁] = A·cos[(2·[$960$]/T)·(T/8)] = A·cos([$960$]/4) = A·(1/[$8730$]2) ,
а в момент времени t₂ = T/4 будет
x(t₂) = A·cos[(2·[$960$]/T)·t₂] = A·cos[(2·[$960$]/T)·(T/4)] = A·cos([$960$]/2) = A·0 = 0 .

Искомый путь S = |x(t₂) - x(t₁)| = |0 - A·(1/[$8730$]2)| = A·(1/[$8730$]2) = A·[$8730$]2 / 2 [$8776$] 0,71·A
Ответ: путь, пройденный за указанный промежуток времени, равен 0,71·A .
Прилагаю график, построенный в популярном приложении Маткад (ссылка) .

Примечание: Если Ваша задача получена от фирмы Сириус, откуда частенько выдают некорректные шарады на сообразительность, то при начальной фазе, отличной от нуля, путь будет другим.
В частности, если [$966$]₀ = 5·[$960$]/8 , то S = 0 (равные отрезки в противоположные стророны приводят частицу в исходное положение).