В чём у Вас проблема с самостоятельным вычислением искомого объёма?

не представляю как выглядит фигура. еще смущает два ху. предполагаю, что отсюда выводится х, чтобы взять интеграл по dx?

Вы писали : "не представляю как выглядит фигура" - показываю проекцию фигуры на горизонтальную плоскость XOY . Площадь проекции я залил голубым цветом. Используя симметрию, достаточно вычислить объём над площадью одной заливки и затем удвоить результ.
Я задал параметр a = 1 - простейший для показа. При увеличении (уменьшении) a-значения красная и розовая кривые удаляются (приближаются) от центра координат в a раз пропорционально.

Вертикальные проекции z = x² (при y = 0) и z = y² (при x=0) - это параболы с ветвями кверху и началом в центре координат (0 ; 0 ; 0).
Самый первый интеграл вычисляется м-ду поверхностями z = 0 и z = x² + y² .
Дальше сами справитесь?

По-моему, Владимир Николаевич хочет посодействовать Вам. Обсудите, пожалуйста, свои проблемы с ним.

получится двойной интеграл. первый dx a^2/x до (2a)^2/x, второй dy от 0 до х^2+ у^2? и умножить на 2. почему-то хочется, видя x^2+y^2, перейти к полярным координатам...

Это очень хорошо, что Вам так "хочется, видя x²+y², перейти к полярным координатам" ! Ваша задача идеально подходит к полярным координатам! Мне теперь стыдно, что я сам не догадался подсказать Вам эту идею.
Ссылки на учеб-статьи Вам уже давали в Вашей прошлой консультации rfpro.ru/question/201354

но в целом то интегралы ограничены верно?

Верно, границы я подсказал Вам выше.

тогда получается первый интеграл будет dфи,а второй rdr. не соображу как эти ограничения a^2/x до (2a)^2/x, от 0 до х^2+ у^2 в полярные координаты перевести...

Пожалуйста, выбирайте адресата при отправке сообщений, чтобы их получали только те корреспонденты, которым они предназначены. Мне ведь незачем знать, что Вы обсуждаете с Владимиром Николаевичем в мини-форуме консультации.

Я вообще-то не математик, а только учусь. Из того, чему я научился, я понимаю, что Ваша цель "перейти к полярным координатам" - не совсем точная, потому что полярные координаты применяют на плоскости, а Вашу задачу надо решать в 3х-мерном пространстве - в объёме. Для обработки Ваших данных с x²+y² надо применить Цилиндрическую систему координат, почитайте статью "Тройные интегралы… Тройной интеграл в цилиндрич координатах" Ссылка (есть ещё Сферическая система координат, но она больше годится для обработки сферических куполов и их секторов)

В статье впрыгните в абзац "Тройной интеграл в цилиндрических координатах". Там чётко написано :
"Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:
x = [$961$]*cos([$966$]) , y = [$961$]*sin([$966$]) , z = z (аппликата остаётся неизменной)"

Сделайте переходные преобразования, выберите похожий пример из статьи.
Выберите удачный порядок обхода тела. Пробуйте… Дорогу осилит идущий…

просмотрев ссылки, хорошо бы первый интеграл перевести в полярные координаты, а второй нет, но так нельзя наверное. в результате получается какая-то ахинея. первый интеграл rdr от 0 до r^2 = 1/2r^4 по dфи. второй интеграл:1/2r^4 по dфи от a^2/x до (2a)^2/x=1/10*31a^2/(r^5*cos^5(фи))

Может Вы и правильно подразумеваете путь к решению в своём мозгу, но совсем не стараетесь передать свои идеи читающим людям. Ваши "первый интеграл" , "второй интеграл" никто не видит кроме Вас. А двусмысленная запись 1/2r^4 напоминает притчу "казнить нельзя помиловать" с пропущеной запятой. Разве так трудно начинать новое предложение с заглавной буквы из уважения к читателям?
У нас уже полночь на ДальВостоке. Завтра утром я постараюсь помочь Вам, если Вы сами не похвастаете своей радостной Победой.

Я сегодня весь день промучился с Вашей задачей. В мощном вычислителе Маткад (ссылка) удаётся вычислить интеграл т-ко для случаев, когда параметр "a" задан как конкретное число. Вас такое решение вероятно не устроит.

а если не переводить в полярные координаты?

так, наверное...

Я просил Вас:

Пожалуйста, выбирайте адресата при отправке сообщений, чтобы их получали только те корреспонденты, которым они предназначены. Мне ведь незачем знать, что Вы обсуждаете с Владимиром Николаевичем в мини-форуме консультации.

Буду признателен Вам, если Вы примете мою просьбу во внимание!

Вы спрашивали : а если не переводить в полярные координаты? - Вы правы, в цилиндрических координатах Решение получается ещё труднее изза 2х вырезающих дуговых "шпонок" на концах секторов от гипербол y = 2a² / x и y = a² / x .
Вы прислали мне своё Решение, чтобы я проверил его? Я пока что не готов это сделать. Но за утренним кофе ко мне приходят умные мысли, и теперь я знаю путь к Решению.

Этот интеграл слишком сложен, чтоб решать его "в лоб" и сделать проверку. Условие задачи надо временно упростить для учёбы заменой z = x² + y² на z=1 , это позволит вычислять гораздо более простую площадь плоских лепестков вместо объёма параболических выкрутасов.

Надо заменить также y = x/2 , y = 2·x на y = x·tg(30°) , y = x·tg(60°) , а x·y = a² , x·y = 2·a²
на y = [$8730$](a² - x²) , y = 2·[$8730$](a² - x²) . Лепестки расширятся и закруглятся на концах, разрешив нам сделать надёжную проверку по простой школьной формуле Площади сектора:
S = [$960$]·R²·[$945$] / 360 , где [$945$]=30° - величина дуги в градусах. Постепенно восстанавливая уровень исходной сложности, можно победить Вашу заморочку. Откуда Вы взяли её? Наверно от олимпиадной шарашки Сириус?

это задача за 2 курс по мат. анализу. тема: Криволинейные и поверхностные интегралы. к сожалению, пересдача в сентябре...проверить бы да, не мешало. нашла что-то аналогичное, но попроще и переделала

Мне самому интересно освоить тему Криволинейные и поверхностные интегралы, но ч-з 4 суток мне предстоит дальняя поездка на неделю в ДНР, надо готовиться и отложить мат-уроки. Но я планирую победить Вашего монстра к концу сентября или в начале октября.
Я учился в РадиоИнституте (в 1975 закончил), нам давали выш-мат т-ко 1 год на первом курсе, а потом пошли спец-дисциплины. А Вас мучают 2 года, наверно, мехмат какой-то? Вы ничего не сообщили о себе в своей Регистрационной карте.

прикладная математика и информатика. мы еще дивергенцию, ротор и потоки считаем в этом семестре. в наступающем тоже будет математика

Я сочувствую Вам