Родились сегодня:
ivan_papus


Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1166

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 405587

Magic2hand

5-й класс

700


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

317

Россия, Северодвинск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

180

Беларусь, Гомель


ID: 405604

Ника

Посетитель

138


ID: 400669

epimkin

Профессионал

118


ID: 405537

hipunova1512

Посетитель

88


8.10.4

05.12.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-08 21:46:03-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201365

Раздел:  Математика
Автор вопроса: Logan_Lady (Посетитель)
Дата: 26.08.2021, 15:29 Консультация закрыта
Поступило ответов: 0

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
найти объем тела, ограниченного поверхностями (параметр считается положительным): z=x^2+y^2, xy=a^2, xy=2a^2, y=x/2, y=2x, z=0.

Ответов пока не поступило
Мини-форум консультации # 201365

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

1

= общий =    27.08.2021, 06:33
Logan_Lady:

В чём у Вас проблема с самостоятельным вычислением искомого объёма?

=====
Facta loquuntur.

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

2

= общий =    27.08.2021, 08:39

не представляю как выглядит фигура. еще смущает два ху. предполагаю, что отсюда выводится х, чтобы взять интеграл по dx?

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

3

= общий =    27.08.2021, 11:31
Logan_Lady:

Вы писали : "не представляю как выглядит фигура" - показываю проекцию фигуры на горизонтальную плоскость XOY . Площадь проекции я залил голубым цветом. Используя симметрию, достаточно вычислить объём над площадью одной заливки и затем удвоить результ.
Я задал параметр a = 1 - простейший для показа. При увеличении (уменьшении) a-значения красная и розовая кривые удаляются (приближаются) от центра координат в a раз пропорционально.

Вертикальные проекции z = x2 (при y = 0) и z = y2 (при x=0) - это параболы с ветвями кверху и началом в центре координат (0 ; 0 ; 0).
Самый первый интеграл вычисляется м-ду поверхностями z = 0 и z = x2 + y2 .
Дальше сами справитесь?

-----
Прикрепленные файлы:

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

4

= общий =    27.08.2021, 13:35
Logan_Lady:

По-моему, Владимир Николаевич хочет посодействовать Вам. Обсудите, пожалуйста, свои проблемы с ним. smile

=====
Facta loquuntur.

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

5

= общий =    29.08.2021, 08:13

получится двойной интеграл. первый dx a^2/x до (2a)^2/x, второй dy от 0 до х^2+ у^2? и умножить на 2. почему-то хочется, видя x^2+y^2, перейти к полярным координатам...

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

6

= общий =    29.08.2021, 10:29
Logan_Lady:

Это очень хорошо, что Вам так "хочется, видя x2+y2, перейти к полярным координатам" ! Ваша задача идеально подходит к полярным координатам! Мне теперь стыдно, что я сам не догадался подсказать Вам эту идею. smile
Ссылки на учеб-статьи Вам уже давали в Вашей прошлой консультации rfpro.ru/question/201354

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

7

= общий =    29.08.2021, 11:30

но в целом то интегралы ограничены верно?

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

8

= общий =    29.08.2021, 11:34
Logan_Lady:

Верно, границы я подсказал Вам выше.

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

9

= общий =    29.08.2021, 11:40

тогда получается первый интеграл будет dфи,а второй rdr. не соображу как эти ограничения a^2/x до (2a)^2/x, от 0 до х^2+ у^2 в полярные координаты перевести...

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

10

= общий =    29.08.2021, 11:58
Logan_Lady:

Пожалуйста, выбирайте адресата при отправке сообщений, чтобы их получали только те корреспонденты, которым они предназначены. Мне ведь незачем знать, что Вы обсуждаете с Владимиром Николаевичем в мини-форуме консультации. smile

=====
Facta loquuntur.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

11

= общий =    29.08.2021, 13:58
Logan_Lady:

Я вообще-то не математик, а только учусь. Из того, чему я научился, я понимаю, что Ваша цель "перейти к полярным координатам" - не совсем точная, потому что полярные координаты применяют на плоскости, а Вашу задачу надо решать в 3х-мерном пространстве - в объёме. Для обработки Ваших данных с x2+y2 надо применить Цилиндрическую систему координат, почитайте статью "Тройные интегралы… Тройной интеграл в цилиндрич координатах" Ссылка (есть ещё Сферическая система координат, но она больше годится для обработки сферических куполов и их секторов)

В статье впрыгните в абзац "Тройной интеграл в цилиндрических координатах". Там чётко написано :
"Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:
x = ρ*cos(φ) , y = ρ*sin(φ) , z = z (аппликата остаётся неизменной)
"

Сделайте переходные преобразования, выберите похожий пример из статьи.
Выберите удачный порядок обхода тела. Пробуйте… Дорогу осилит идущий…

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

12

= общий =    29.08.2021, 16:18
Алексеев Владимир Николаевич:

просмотрев ссылки, хорошо бы первый интеграл перевести в полярные координаты, а второй нет, но так нельзя наверное. в результате получается какая-то ахинея. первый интеграл rdr от 0 до r^2 = 1/2r^4 по dфи. второй интеграл:1/2r^4 по dфи от a^2/x до (2a)^2/x=1/10*31a^2/(r^5*cos^5(фи))

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

13

= общий =    29.08.2021, 16:44
Logan_Lady:

Может Вы и правильно подразумеваете путь к решению в своём мозгу, но совсем не стараетесь передать свои идеи читающим людям. Ваши "первый интеграл" , "второй интеграл" никто не видит кроме Вас. А двусмысленная запись 1/2r^4 напоминает притчу "казнить нельзя помиловать" с пропущеной запятой. Разве так трудно начинать новое предложение с заглавной буквы из уважения к читателям?
У нас уже полночь на ДальВостоке. Завтра утром я постараюсь помочь Вам, если Вы сами не похвастаете своей радостной Победой.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

14

= общий =    30.08.2021, 17:18
Logan_Lady:

Я сегодня весь день промучился с Вашей задачей. В мощном вычислителе Маткад (ссылка) удаётся вычислить интеграл т-ко для случаев, когда параметр "a" задан как конкретное число. Вас такое решение вероятно не устроит.

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

15

= общий =    30.08.2021, 21:33

а если не переводить в полярные координаты?

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

16

= общий =    30.08.2021, 22:07

так, наверное...

-----
Прикрепленные файлы:

q_id

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

17

= общий =    30.08.2021, 22:42
Logan_Lady:

Я просил Вас:

Пожалуйста, выбирайте адресата при отправке сообщений, чтобы их получали только те корреспонденты, которым они предназначены. Мне ведь незачем знать, что Вы обсуждаете с Владимиром Николаевичем в мини-форуме консультации.


Буду признателен Вам, если Вы примете мою просьбу во внимание!

=====
Facta loquuntur.

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

18

= общий =    31.08.2021, 03:19
Logan_Lady:

Вы спрашивали : а если не переводить в полярные координаты? - Вы правы, в цилиндрических координатах Решение получается ещё труднее изза 2х вырезающих дуговых "шпонок" на концах секторов от гипербол y = 2a2 / x и y = a2 / x .
Вы прислали мне своё Решение, чтобы я проверил его? Я пока что не готов это сделать. Но за утренним кофе ко мне приходят умные мысли, и теперь я знаю путь к Решению.

Этот интеграл слишком сложен, чтоб решать его "в лоб" и сделать проверку. Условие задачи надо временно упростить для учёбы заменой z = x2 + y2 на z=1 , это позволит вычислять гораздо более простую площадь плоских лепестков вместо объёма параболических выкрутасов.

Надо заменить также y = x/2 , y = 2·x на y = x·tg(30°) , y = x·tg(60°) , а x·y = a2 , x·y = 2·a2
на y = √(a2 - x2) , y = 2·√(a2 - x2) . Лепестки расширятся и закруглятся на концах, разрешив нам сделать надёжную проверку по простой школьной формуле Площади сектора:
S = π·R2·α / 360 , где α=30° - величина дуги в градусах. Постепенно восстанавливая уровень исходной сложности, можно победить Вашу заморочку. Откуда Вы взяли её? Наверно от олимпиадной шарашки Сириус?

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

19

= общий =    31.08.2021, 09:42
Алексеев Владимир Николаевич:

это задача за 2 курс по мат. анализу. тема: Криволинейные и поверхностные интегралы. к сожалению, пересдача в сентябре...проверить бы да, не мешало. нашла что-то аналогичное, но попроще и переделала

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

20

= общий =    31.08.2021, 10:30
Logan_Lady:

Мне самому интересно освоить тему Криволинейные и поверхностные интегралы, но ч-з 4 суток мне предстоит дальняя поездка на неделю в ДНР, надо готовиться и отложить мат-уроки. Но я планирую победить Вашего монстра к концу сентября или в начале октября.
Я учился в РадиоИнституте (в 1975 закончил), нам давали выш-мат т-ко 1 год на первом курсе, а потом пошли спец-дисциплины. А Вас мучают 2 года, наверно, мехмат какой-то? Вы ничего не сообщили о себе в своей Регистрационной карте.

q_id

Logan_Lady

Посетитель

ID: 403319

21

= общий =    31.08.2021, 16:11
Алексеев Владимир Николаевич:

прикладная математика и информатика. мы еще дивергенцию, ротор и потоки считаем в этом семестре. в наступающем тоже будет математика

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

22

= общий =    31.08.2021, 16:24
Logan_Lady:

Я сочувствую Вам smile smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1166

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 317

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 200

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 118

sglisitsyn

6-й класс

Рейтинг: 49

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

Рейтинг: 44