В консультации rfpro.ru/question/201297 я показал Вам формулу "рекуррентное соотношение R(n) в зависимости от R(n-1) , где R(n) - сопротивление цепи с n ячейками". Эта формула позволяет получить искомое Вами "точное аналитическое соотношение для эквивалентного сопротивления всей цепи R(n) в зависимости от количества ячеек n" по-шагово : Сначала для n=1 , затем для n=2 и тд для любого n . Но Вам показалось этого недостаточно.
Перейти от RR-цепочки R₁ , R₂ , R₃ к более простой R , 2·R , R не составит труда Вам, как эксперту. Тогда что Вы хотите?

Верно ли я понимаю Вашу фразу "Выведите точное аналитическое соотношение" как желание получить выражение эквивалентного сопротивления всей цепи R(n) без рекурсии (без использования в формуле предыдущих выражений R(n-1)) ?
Надеюсь, Вы уже поняли, что громоздкость формулы нарастает с увеличением n - к-ва звеньев RR-цепи.
Укажите конкретное максимальное n-значение , при котором Вы будете удовлетворены Решением.

Уважаемый эксперт Владимир Николаевич, мне кажется, что нарастающая громоздкость в формулах зависимости возникала из-за того, что мы не могли выразить соотношения и ; , через более простые формулы с меньшим количеством переменных. В условиях данной консультации теперь данные соотношения выражаются через более простые формулы с одной переменной и числовыми коэффициентами. Я уже знаю рекуррентное соотношение через сопротивления , , и прекрасно понимаю, что нужно просто подставить , , . Вы совершенно правильно поняли, что нужно получить формулу без рекурсии (это я пытался сообщить фразами " в зависимости от количества ячеек " - не от ; "аналитическое соотношение" - не рекуррентное). Как мне кажется, не обязательно знать последовательно значения , , (хотя это требовалось для другого вопроса той консультации), чтобы получить общую зависимость . Мне нужно знать значения для двух значений и . Надеюсь, ответил на Ваши вопросы.

Вы писали: "нарастающая громоздкость в формулах зависимости R(n) возникала из-за того, что мы не могли выразить соотношения R_i / R_j" - мы могли выразить соотношения, и я показал Вам менее громоздкие формулы с мЕньшим числом переменных в нижней строке формул Маткад-скриншота консультации rfpro.ru/question/201297 .

"нужно получить формулу R(n) без рекурсии" - показываю Вам формулы без рекурсии для первых 14 звеньев цепи. Маткад-скриншот прилагаю. Я могу показать больше формул, но программа сервера портит отображение картинок размером сверх лимита 800*800 пикселов (размер сохранённой копии увеличивается, а качество ухудшается). Если Вам удастся уговорить глав-админа сервера (он же Руководитель) увеличить лимит до 1000 пикс), то эксперты смогут верстать более полные и качественные ответы (мои просьбы увеличить лимит проигнорированы).

Когда Вы проанализируете результы вычислений, то поймёте, что с точки зрения физики задача решена ещё в прошлой Вашей консультации q201297. Здесь - те же последовательные и параллельные соединения резисторов, ничего нового. Мы имеем точное значение R0 цепи бесконечной длины. Сопротивление 3х-звенной цепи равно R0 с точностью 1% - что более чем достаточно для практического применения. Увеличение кол-ва звеньев выше 3х экономически неоправдано для техники/электроники. За 45 лет практики я не видел RC или RR-фильтров с кол-вом звеньев более 3х.

Проблемв Вашей задачи - математическая. R0 = ([$8730$]5 + 1)*R выражается иррациональным числом. Значит, оно в принципе не может быть выражено точно. Но требуемое в Условии "точное аналитическое соотношение для эквивалентного сопротивления всей цепи R(n)" можно получить. Для 16-звенной цепи оно равно
R16 = 7049156*R / 2178309 .
Для запрошенных Вами "n = 1010 и n = 2020" выражение будет иметь тот же вид, но вместо 7-значных чисел будут числа в 63 раза длиннее (1010 / 16), то есть 440 цифр. На моём экране с разрешением 1024*768 пикс умещается т-ко 125 цифр в строке.

В Вашей прошлой консультации я советовал Вам "Вы можете создать эту консультацию повторно в разделе Математика со ссылкой на мой недоделанный Ответ в надежде на то, что какой-нибудь математик сформирует "точное аналитическое соотношение R(n)" из моих нарастающе-громоздких маткад-формул". Но Вы снова отправили свой Вопрос в раздел Физика, и я не берусь убивать уйму времени на практически бесполезный синтез длиннючей мат-формулы, чтоб повысить высочайшую точность с 10^-13 (для 16-звенной цепи) до абсолютной точности с числами шириной в 4 экрана.
Какой-то легкомысленный преподаватель придумывает для Вас непрактично-издевательские задачки.

Уважаемый эксперт Владимир Николаевич, спасибо большое за Ваш подробный ответ! Преподаватель действительно любит задачи с непростой математикой !

Сегодня утром я как обычно вспомнил вчерашний день, Вашу задачу, в мыслях блеснул новый метод её решения, и я снова целый день убил на мелкую продвижку с незаконченным финалом - вот прицепилась зараза!

Мы оба знаем, что в классической математике традиционно принято показывать результат в виде точных, простых дробей типа 1/3 , но не в округлённых значениях 0,333, принятых в физике. Ваше Условие "Выведите точное аналитическое соотношение" означает принудительное использование математического (не физического) стиля. Значит, ищем результат (эквивалентное сопротивления всей цепи R(n)) в виде
Rn(n) = [A(n) / B(n)]*2*R , где R - известное сопротивление, а A(n) и B(n) - натуральные числа (целые и > 0).

Сегодня мне удалось уловить зависимость получения чисто-мат-выражений для числителя A(n) и знаменателя B(n) с помощью Маткада и осмысливания закономерностей его результатов. Но полностью избавиться от рекурсии мне не удалось, не хватает опыта оптимизации функциональных рядов. А Маткад "заточен" для числовой обработки (он не для формул-оптимизации в отличие от MatLab). Да и числовая мощность у Маткада всего 15 знаков точности, что вполне достаточно для технических расчётов, но не для Ваших супер-длинных чисел с запрещённым округлением.

Показываю Вам очередной Маткад-скриншот. Теперь Вы можете создать новую консультацию в разделе Математика, где опытный математик возможно осмелится выразить рекурсию в компактном виде ч-з какие-нибудь факториалы или сумму сходящегося функционального ряда. Только я не могу представить, как он сможет показать Вам ответ с неокругляемыми числами длиной в несколько экранных строк? Ваш преподаватель - большой шутник!