Родились сегодня:
Кожухова Дарья


Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1030

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

312

Россия, Северодвинск


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

276

Россия, Санкт-Петербург


ID: 400669

epimkin

Профессионал

204


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

155

Беларусь, Гомель


ID: 404002

sglisitsyn

6-й класс

41


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

28

Россия, Омск


8.10.3

30.10.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-03 01:16:01-standard


Консультации и решение задач по физике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201297

Раздел:  Физика
Автор вопроса: al4293189 (1-й класс)
Дата: 26.07.2021, 20:51 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, помогите с задачей:
Дана электрическая цепь с повторяющимися раз сопротивлениями , которые даны.
1. Рассчитайте сопротивление цепи при ;
2. Выведите рекуррентное соотношение в зависимости от , где - сопротивление цепи с ячейками;
3. Найдите сопротивление бесконечной цепи ( стремится к бесконечности);
4. Выведите точное аналитическое соотношение соотношение в зависимости от .

-----
Прикрепленные файлы:

Дана электрическая цепь с повторяющимися n раз звеньями резисторов, сопротивления которых заданы как R1 , R2 , R3.
Требуется рассчитать 4 пункта заданий.

Решения : Пункт1 : Рассчитать сопротивление r2 цепи при n = 2 . Эл-схема 2х-звенной цепи содержит 2 тройки резисторов. В правой по схеме на рис1 тройке резисторы соединены последовательно. Их общее сопротивление равно
r1 = R1 + R2 + R3
С этой тройкой параллельно соединён резистор R2 левой тройки. Их общее сопротивление
R21 = 1 / (1 / R2 + 1 / r1)
Искомое r2 = R1 + R21 + R3 = R1 + R2 + R3 - R22 / (R1 + 2·R2 + R3)

Пункт2 : Вывести рекуррентное соотношение R(n) в зависимости от R(n-1) , где R(n) - сопротивление цепи с n ячейками.
Формулу рекуррентного соотношения выводим аналогично предыдущему пункту с той разницей, что к левому звену наращиваем не одиночную тройку r1 , а гирлянду с ранее-вычисленным сопротивлением Rn-1 . Получаем очень похожую формулу:
Rn(Rn-1) = R1 + R21 + R3 = R1 + R2 + R3 - R22 / (R2 + Rn-1)

Пункт3 : Вычислить сопротивление R0 бесконечной цепи (n стремится к бесконечности). Метод решения хорошо описан в учебной статье "Сопротивление бесконечной цепочки резисторов" ссылка1 :
Аннотирую : Если на входе цепочки удалить либо добавить 1 звено, состоящее из резисторов R1 , R2 , R3 , то сопротивление бесконечной цепочки не изменится и будет равно R0 . Поэтому можно составить следующую эквивалентную схему цепочки (рис2 прилагаю).
На основании этой схемы с помощью формул для параллельного и последовательного соединения резисторов составим уравнение для вычисления R0 :
R0 = R1 + R3 + 1 / (1 / R2 + 1 / R0)
Решать это уравнение Вы можете любым удобным Вам способом. Я люблю вычислять в приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Маткад отображает формулы точно так же, как стандартные математические редакторы формул с простыми и удобными дополнениями:
Ключевое слово solve,R0 означает решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной R0 .
Символ := означает оператор присваивания. Символ = - вывести на экран в числовом виде. Символ - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).
Проверку удобно сделать сравнением полученного результата с Ответом задачи из статьи по ссылке1. В задаче по ссылке резисторы заданы в числовом виде. Поэтому для полного сопоставления я задал для проверки R1 = 6 , R2 = 12 , R3 = 0 . Результаты совпали, значит, проверка успешна.

Пункт4: Вывести точное аналитическое соотношение R(n) соотношение в зависимости от n . Мне удалось вывести "точное аналитическое соотношение R(n)" т-ко для коротких цепочек длиной n = 1…3 . При увеличении длины цепочки формулы получаются настолько громоздкие, что не помещаются на экране (формула для 4х-звенной цепи на скриншоте показана в обрезанном виде!).

В формулах с нарастающей громоздкостью мне не удалось обнаружить какой-либо закономерности, позволяющей лаконично/изящно изобразить зависимость
Rn(R1, R2, R3, n) для любого большого n .
Я полагаю, что невозможно без рекурсии написать и изобразить на экране бытового монитора формулу для любого произвольного n >= 4 , равного например, n = 38 .

Используя свой большой опыт инж-электроника, я опробовал метод замены последовательно-соединённых резисторов R1, R3 на единый эквивалентный резистор
R13 = R1 + R3 , см рис3. В формулах я заменил длинные индекс-содержащие имена переменных на короткие R2 → r , R13 → k·r . Это позволило укоротить / лаконизировать отображение формул и вывести на экран выражение Rn(r, k) для n = 4…8 и более звеньев. Но все они в рекуррентном виде, то есть : приходится последовательно вычислять сначала Rn для коротких звеньев, а затем наращивать для более длинных.
На нижней строке Маткад-скриншота я показал выражение для сопротивления R8(r, k) 8-звенной цепи при условии, что ранее вычислена 7-звенная цепь. Если Вам нужен полный скрин вычисления коротких цепочек для n = 1…10 в зависимости от r , k , я могу добавить его.

На Вашу доп-просьбу в минифоруме "нахождение абсолютной точной зависимости … R(n) , а затем нахождение lim R(n) по зависимости R(n)" я могу предложить т-ко формулы в алгоритмическом виде:
Формула рекуррентная для R(n) в зависимости от R(n-1) показана выше.
Формула для бесконечной цепочки ч-з лимит : R0 = lim R(n) при n → к бесконечности.
В обе формулы надо добавить условие : n > 1 и начальную формулу R(n) = R1 + R2 + R3 для n = 1 .

Практической пользы от этих алгоритмических формул я не вижу, кроме случая, если Вы захотите написать программу вычисления "абсолютной точной зависимости … R(n)" согласно алгоритму. Поэтому, если Вы делаете акцент внимания на вывод алгоритмич-формулы (а не формулы для вычисления методом простой замены переменных их числовыми значениями) с целью написания программы, то по Вашей доп-просьбе эксперты могут написать мини-программку, кот-я при запуске запросит ввести значения для резисторов R1, R2, R3, а также желаемое Вами кол-во звеньев n . И затем мигом вычислит сопротивление заданной Вами цепи. =Удачи!

Последнее редактирование 31.07.2021, 04:12 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
31.07.2021, 03:32
5


Спасибо большое за ответ, уважаемый эксперт Владимир Николаевич.

Мини-форум консультации # 201297

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

1

= общий =    29.07.2021, 10:51
al4293189:

Ваша задача очень лёгкая с точки зрения Физики, тк каждый добросовестный старшеклассник знает, что при последовательном соединении резисторов суммируются их сопротивления, а при параллельном - суммируются их проводимости.
Таким образом, сопротивление цепи при n = 1 равно r1 = R1 + R2 + R3
а искомое сопротивление цепи при n = 2
r2 = R1 + R3 + 1 / (1 / R2 + 1 / r1) = R1 + R2 + R3 - R22 / (R1 + 2·R2 + R3)

Рекуррентное соотношение R(n) в зависимости от R(n-1) выводим аналогично :
R(n) = R1 + R3 + 1 / [1 / R2 + 1 / R(n-1)] = R1 + R2 + R3 - R22 / [R2 + R(n-1)]

Пункт3 "Найдите сопротивление бесконечной цепи" тоже несложный, трюк с бесконечной RR-цепочкой показал эксперт Лангваген Сергей Евгеньевич в консультаци rfpro.ru/question/200230 (ссылка) .

Однако, в процессе решения Пункта4 мне удалось вывести "точное аналитическое соотношение R(n) соотношение в зависимости от n" т-ко для коротких цепочек длиной n = 1…6 . При увеличении длины цепочки формулы получаются настолько громоздкие, что не помещаются на экране.
Десятки лет я решал подобные задачи практическими методами с приемлемой точностью (точность 10% и моя упрощающая производительность обычно удовлетворяли всех). Но для решения Вашей олимпиадной задачи получить "точное аналитическое соотношение" может т-ко опытный математик, умеющий из нарастающего функционального ряда выудить признаки мат-прогрессии.

Я могу написать Вам Ответ в Маткаде до чего я дорешался, но нужно ли Вам моё Решение, учитывая Ваше пожелание "Большая просьба решить задачу без дополнительных приложений, облегчающих решение (к ним, в частности относится MathCad)" (пост rfpro.ru/question/201296#320730 Ссылка) ?

Если Вам очень нужно полное Решение, Вы можете создать эту консультацию повторно в разделе Математика со ссылкой на мой недоделанный Ответ в надежде на то, что какой-нибудь математик сформирует "точное аналитическое соотношение R(n)" из моих нарастающе-громоздких маткад-формул.

q_id

al4293189

1-й класс

ID: 405239

2

= общий =    29.07.2021, 15:15
Алексеев Владимир Николаевич:


Уважаемый эксперт Владимир Николаевич,
Я специально уточнил условие задачи и задал некоторые вопрос по решению у составителя задачи. Первые два пункта Вы выполнили правильно, как он имел в виду, спасибо. В третьем пункте он однако имел не такой метод расчёта бесконечной цепи с резисторами (добавление в начало цепочки ещё одного звена и приравнивание нового сопротивления цепи исходному полному сопротивлению цепи). Вначале имелось в виду нахождение абсолютной точной зависимости (на точности сделан акцент внимания) , а затем нахождение по зависимости . Если Вам необходимо пользоваться приложением MathCad для определения зависимости по рекуррентной формуле , имеет смысл воспользоваться этим приложением, но тогда прикрепите, пожалуйста, фотографию расчётов. Возможны, вы им воспользуетесь для нахождения предела . Заранее спасибо!

q_id

al4293189

1-й класс

ID: 405239

3

= общий =    02.08.2021, 11:47
Алексеев Владимир Николаевич:

Уважаемый эксперт Владимир Николаевич, спасибо большое за Ваш ответ.

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1030

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 312

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 276

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 204

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 196

Gluck

9-й класс

Рейтинг: 60