Рассмотрим функцию [$966$](x, y, z) = x² +2*y² + 3*z² как некие линии уровня.
Тогда уравнение задачи - одна из ее линий уровня, а нормаль - это grad F.

grad [$966$] = 2*x*i + 4*y*j+6*z*k, где i, j, k - орты декартовой системы координат.

Значение grad [$966$] в точке (4; 1; 1) равно (8; 4; 6). Значит, в качестве вектора нормали можно взять вектор (4; 2; 3). Он же вектор нормали для касательной плоскости.

Находим уравнение касательной плоскости, т.е. плоскости с нормалью (4; 2; 3), проходящей через точку (4; 1; 1):

4*(x - 4) + 2*(y-1) + 3*(z-1)=0

или 4*x + 2*y + 3*z - 21=0

ОТВЕТ: (4; 2; 3) и 4*x + 2*y + 3*z - 21=0

Здравствуйте, ushatalal!

Пусть дана поверхность и требуется вывести уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке

Для решения задачи воспользуемся утверждениями, которые изложены в прикреплённом файле. Тогда получим






-- искомое уравнение касательной плоскости;


-- искомые (канонические) уравнения нормали.

Литература
Лунгу К. Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. -- М.: Айрис-пресс, 2008.