Здравствуйте, golub4102000!
Условие : Ускорение частицы : a^[$8594$](t) = i^[$8594$]·2·t⁴ + j^[$8594$]·3·t⁸
Вычислить скорость, которая будет у частицы в момент времени t1 = 1 с .

Решение этой задачи очень похоже на решение Вашей предыдущей rfpro.ru/question/199676 (ссылка) .
Фраза условия "i^[$8594$] и j^[$8594$] - единичные орты в декартовой системе координат" означает, что движение частицы вдоль взаимно-перпендикулярных направлений i^[$8594$] и j^[$8594$] происходит независимо (как, например, по осям Ox и Oy ). Поэтому, можно отдельно вычислять проекции скорости движения вдоль направлений i^[$8594$] и j^[$8594$] , а затем получить искомую скорость, как геометрическую сумму проекций.

Ускорение есть производная скорости по времени a = dV / dt .
Мы знаем закон изменения проекции ускорения в направлении i^[$8594$] : ai(t) = 2·t⁴
Вычисляем i-проекцию скорости операцией интегрирования:
Vi(t) = [$8747$] ai(t)·dt = [$8747$] 2·t⁴·dt = 2·[$8747$] t⁴·dt = 2·t⁵ / 5 + Ci , где Ci - некая константа интегрирования, соответствующая i-проекции начальной скорости в момент t = 0 . Однако, учитывая условие "Частица начала своё движение из начала координат с нулевой начальной скоростью", принимаем Ci = 0 .
Тогда в момент t1 получим Vi(t1) = 2·t⁵ / 5 = 2·1⁵ / 5 = 2/5 = 0,400 м .

Аналогично, зная закон изменения проекции ускорения в направлении j^[$8594$] : aj(t) = 3·t⁸
вычисляем j-проекцию скорости :
Vj(t) = [$8747$] aj(t)·dt = [$8747$] 3·t⁸·dt = 3·[$8747$] t⁸·dt = 3·t⁹ / 9 + Cj , где Cj = 0 - константа интегрирования, соответствующая j-проекции начальной скорости.
В момент t1 получим Vj(t1) = t⁹ / 3 = 1⁹ / 3 = 1/3 = 0,3333 м .

Модуль скорости V = [$8730$]{[Vi(t1)]² + [Vj(t1)]²} = [$8730$](0,400² + 0,3333²) = [$8730$]61/15 [$8776$] 0,5207 м/с .
Значит, Правильный вариант ответа : в) 0,521 м/с .