Здравствуйте, golub4102000!
Условие : Скорость частицы : V^[$8594$](t) = i^[$8594$]·2·t³ + j^[$8594$]·3·t⁵
Вычислить расстояние, на которое частица удалится от начала координат в момент времени t1 =1 с.

Решение : фраза условия "векторы i и j - единичные орты в декартовой системе координат" означает, что движения частицы вдоль взаимно-перпендикулярных направлений i и j происходит независимо (как, например, по осям Ox и Oy ). Поэтому, можно отдельно вычислить пути движения вдоль направлений i и j , а затем получить искомое расстояние от начала координат, как геометрическую сумму проекций.

Скорость есть производная пути по времени V = dS / dt .
Мы знаем закон изменения проекции скорости в направлении i^[$8594$] :
Vi(t) = 2·t³
Вычисляем i-проекцию пути операцией интегрирования:
Si(t) = [$8747$] Vi(t)·dt = [$8747$] 2·t³·dt = 2·[$8747$] t³·dt = 2·t⁴ / 4 + Ci , где Ci - некая константа интегрирования, соответствующая i-проекции расстояния точки от начала координат в момент t=0 (начальной i-проекции). Однако, учитывая условие "Частица начала свое движение из начала координат", принимаем Ci = 0 .
Тогда в момент t1 получим Si(t1) = t⁴ / 2 = 1⁴ / 2 = 1/2 = 0,5 м .

Аналогично, зная закон изменения проекции скорости в направлении j^[$8594$] :
Vj(t) = 3·t⁵
вычисляем j-проекцию пути операцией интегрирования:
Si(t) = [$8747$] Vj(t)·dt = [$8747$] 3·t⁵·dt = 3·[$8747$] t⁵·dt = 3·t⁶ / 6 + Cj , где Cj = 0 - константа интегрирования, соответствующая j-проекции .
В момент t1 получим Sj(t1) = t⁶ / 2 = 1⁶ / 2 = 1/2 = 0,5 м .

Модуль расстояния S = [$8730$]{[Si(t1)]² + [Sj(t1)]²} = [$8730$](0,5² + 0,5²) = 1 / [$8730$]2 = 0,707 м .
Правильный вариант ответа : г) 0,707 м .