Здравствуйте, lightcyber!
Имеем задачу Коши для уравнения вида
где а₁₁=1, а₁₂=-1, а₂₂=-3. Поскольку (а₁₂)²-а₁₁·а₂₂=(-1)²-1[$183$](-3)=4>0,
то данное уравнение является уравнением гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду.

Составим характеристическое уравнение

Получим два уравнения

Общие интегралы этих уравнений: t+3x=C₁, t-x=C₂.
Для приведения к канонической форме введем новые переменные:
Дифференцируем:




Преобразуем производные к новым переменным, используя формулу вычисления производной сложной функции:






Подставив их в исходное уравнение, имеем:



После упрощения, приходим к канонической форме уравнения:



Интегрируя полученное уравнение, имеем:
[
Возвращаясь к старым переменным, находим общее решение:

где f и g - произвольные функции указанных аргументов.

Продифференцируем найденную функцию по переменной t:

Удовлетворяя начальным условиям имеем:

Интегрируя второе уравнение системы по x, получим:

где С - произвольная постоянная.
Теперь система примет вид


Отсюда

Тогда искомое решение задачи Коши имеет вид