Здравствуйте, михаил алексеевич!
3
Это дифференциальное уравнение с однородными функциями 1-го порядка, которое решаем с помощью подстановки:

В итоге получим уравнение с разделяющимися переменными:

После интегрирования имеем:

Здравствуйте, михаил алексеевич!
Общее решение неоднородного уравнения y"+4y=e^-2x будем искать в виде
у=у₀+Y, где у₀ - решение сооответствующего однородного уравнения, Y - некоторое частное решение неоднородного уравнения.

Решим однородное уравнение y"+4y=0.
Характеристическое уравнение k²+4=0 имеет комплексно сопряженные корни k₁=2i, k₂=-2i.
Следовательно, у₀=С₁cos2x+C₂sin2x.

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид f(x)=e^-2x, поэтому его частное решение следует искать в виде Y=Ae^-2x.
Дифференцируя эту функцию дважды, находим:
Y'=-2Ae^-2x, Y''=4Ae^-2x.
Подставляя функцию Y и ее вторую производную в неоднородное уравнение, получим:
4Ae^-2x+4Ae^-2x=e^-2x.
Приводя подобные члены и сокращая на e^-2x, имеем 8А=1. Отсюда .
Тогда .

Таким образом, - общее решение неоднородного уравнения.
Осталось на основании начальных условий y(0)=0, y'(0)=0 определить константы С₁ и C₂.
y(0)=0:
Продифференцируем найденную функцию у:

y'(0)=0:
Значит, искомое частное решение имеет вид

Здравствуйте, михаил алексеевич!

4. Для соответствующего однородного уравнения составим характеристическое уравнение и решив его, найдём Поскольку при комплексных корнях , постольку общее решение однородного уравнения имеет вид


Правая часть заданного уравнения - показательная функция. Поэтому частное решение ищем в виде Тогда и после подстановки в заданное уравнение получим

Значит,


Общее решение заданного уравнения является суммой решений (1) и (2):

тогда

и при заданных начальных условиях


Следовательно, решением задачи является


С уважением.