Здравствуйте, Посетитель - 370501!

Решить уравнения операционным способом
y''+4y=8t
y(0)=0
y'(0)=4
пусть y(t)[$247$]Y(p). Тогда y'(t)[$247$]pY-y(0)=pY
y''[$247$]p²Y-py(0)-y'(0)=p²Y-4p
и 8t[$247$]8/p²

подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение
p²Y-4p+4Y=8/p²
Отсюда

Находя оригиналы по образам
y(t)=2t+sin 2t

Здравствуйте, Посетитель - 370501!

b) Пусть дано уравнение

с начальными условиями

Тогда





и в операторном виде заданное уравнение запишется следующим образом:

или



откуда получим










Ответ:

С уважением.

Здравствуйте, Посетитель - 370501!
4) y'-3y+z'=0, z'-y+z=0, y(0)=1, z(0)=1
Переходя к образам Лапласа, получаем
(pY-1)-3Y+(pZ-1)=0
(pZ-1)-Y+Z=0
или
(p-3)Y+pZ=2
-Y+(p+1)Z=1
Решая систему, находим
Y=(p+2)/(p²-p-3)
Z=(p-1)/(p²-p-3)
Обратное преобразование Лапласа проще всего найти по формулам
y(t)=[$8721$]res(Y(p)e^pt)
z(t)=[$8721$]res(Z(p)e^pt)
Обе функции имеют два полюса в точках p=(1[$177$][$8730$](13))/2
Вычет для функции вида f(p)/g(p) в точке p=a можно считать по формуле f(a)/g'(a), поэтому
res(res(Y(p)e^pt))=[(p+2)/(2p-1)]e^pt
res(res(Z(p)e^pt))=[(p-1)/(2p-1)]e^pt
Суммируя вычеты в двух полюсах для каждой функции, находим
y(t)=[(5+[$8730$](13))/2[$8730$](13)]e^{0.5(1+[$8730$](13))t}+[([$8730$](13)-5)//2[$8730$](13)]e^{0.5(1-[$8730$](13))t}
z(t)=[([$8730$](13)-1)/2[$8730$](13)]e^{0.5(1+[$8730$](13))t}+[([$8730$](13)+1)//2[$8730$](13)]e^{0.5(1-[$8730$](13))t}