Здравствуйте, Сергей!

а) Схема содержит 4 узла и 3 контура, следовательно, по законам Кирхгофа можно составить систему из 6 уравнений (4+3-1), из них 3(4-1) - по первому закону, остальные - по второму. Направление токов в ветвях выберем совпадающим с направлением соответствующих ЭДС, а направление обхода контуров - по часовой стрелке. Тогда имеем систему:






Подставляя заданные сопротивления и ЭДС, получаем:






или в матричной форме:

Находим обратную матрицу:


и получаем решение системы:


то есть







б) Для тех же 3 контуров составим уравнения для контурных токов I[sub]k1[/sub], I[sub]k2[/sub], I[sub]k3[/sub] на основании второго закона Кирхгофа:



Подставляя заданные сопротивления и ЭДС, получаем систему



или в матричной форме:

Находим обратную матрицу:

и получаем решение системы:

то есть



Ток для каждой ветви найдём, складывая контурные токи (с учётом направления) для всех контуров, содержащих эту ветвь:







в) Потенциал одного из узлов принимаем равным 0. Для остальных узлов составляем систему уравнений. В левой части уравнения для каждого узла записываем потенциал этого узла, умноженный на суммарную проводимость ведущих к нему ветвей, и вычитаем потенциалы соседних узлов, умноженные на проводимости ветвей, связывающих их с данным узлом. В правой части уравнения записываем сумму узловых токов, при этом ток берётся со знаком "+", если он направлен к узлу, и со знаком "-" в противном случае. Для ЭДС их значение умножается на проводимость соответствующей ветви.
В данном случае имеем 6 ветвей, проводимости которых равны:






Также определим токи ЭДС:



Примем потенциал [$966$][sub]2[/sub] = 0 и запишем систему уравнений для потенциалов остальных узлов ([$966$][sub]1[/sub], [$966$][sub]3[/sub], [$966$][sub]4[/sub]):



Подставляя найденные проводимости и токи ЭДС и упрощая, получаем систему



или в матричной форме:

Находим обратную матрицу:

и получаем решение системы:

то есть



Ток для каждой ветви найдём по закону Ома, умножив её проводимость на разность потенциалов:







Значения токов ветвей, полученные методом узловых потенциалов, методом контурных токов и с помощью законов Кирхгофа, совпадают. Следовательно, решение верно.

г) Для любого замкнутого контура сумма мощностей источников тока и ЭДС равна сумме мощностей, расходуемых на сопротивлениях. Если известна сила тока в цепи, то мощность, отдаваемая источником с ЭДС E, равна P = [$177$]I·E, где знак "+" берётся при совпадении направлений тока и ЭДС. Мощность, выделяемая в форме тепла на сопротивлении r, определяется законом Джоуля-Ленца: P = I[sup]2[/sup]r.
Составим баланс мощностей для заданной схемы:

Подставляя заданные сопротивления и ЭДС и найденные значения токов, получаем:




Баланс мощностей соблюдается.

д) Потенциальную диаграмму для внешнего контура построим следующим образом: потенциал начального узла примем за 0, элемент с ЭДС E увеличивает потенциал на величину E, элемент с сопротивлением R уменьшает потенциал на величину падения напряжения IR (I - сила тока на участке цепи, содержащем элемент). При этом значения тока и ЭДС меняют знак, если их направление противоположно направлению обхода контура.
В данном случае имеем:






Так как [$966$][sub]5[/sub] = [$966$][sub]0[/sub], расчёт выполнен правильно.
Потенциальная диаграмма будет иметь вид: