Здравствуйте, Сергей!
а) Схема содержит 4 узла и 3 контура, следовательно, по законам Кирхгофа можно составить систему из 6 уравнений (4+3-1), из них 3(4-1) - по первому закону, остальные - по второму. Направление токов в ветвях выберем совпадающим с направлением соответствующих ЭДС, а направление обхода контуров - по часовой стрелке. Тогда имеем систему:
Подставляя заданные сопротивления и ЭДС, получаем:
или в матричной форме:
Находим обратную матрицу:
и получаем решение системы:
то есть
б) Для тех же 3 контуров составим уравнения для контурных токов
I[sub]k1[/sub],
I[sub]k2[/sub],
I[sub]k3[/sub] на основании второго закона Кирхгофа:
Подставляя заданные сопротивления и ЭДС, получаем систему
или в матричной форме:
Находим обратную матрицу:
и получаем решение системы:
то есть
Ток для каждой ветви найдём, складывая контурные токи (с учётом направления) для всех контуров, содержащих эту ветвь:
в) Потенциал одного из узлов принимаем равным 0. Для остальных узлов составляем систему уравнений. В левой части уравнения для каждого узла записываем потенциал этого узла, умноженный на суммарную проводимость ведущих к нему ветвей, и вычитаем потенциалы соседних узлов, умноженные на проводимости ветвей, связывающих их с данным узлом. В правой части уравнения записываем сумму узловых токов, при этом ток берётся со знаком "+", если он направлен к узлу, и со знаком "-" в противном случае. Для ЭДС их значение умножается на проводимость соответствующей ветви.
В данном случае имеем 6 ветвей, проводимости которых равны:
Также определим токи ЭДС:
Примем потенциал
[$966$][sub]1[/sub] = 0 и запишем систему уравнений для потенциалов остальных узлов (
[$966$][sub]2[/sub],
[$966$][sub]3[/sub],
[$966$][sub]4[/sub]):
Подставляя найденные проводимости и токи ЭДС и упрощая, получаем систему
или в матричной форме:
Находим обратную матрицу:
и получаем решение системы:
то есть
Ток для каждой ветви найдём по закону Ома, умножив её проводимость на разность потенциалов:
Значения токов ветвей, полученные методом узловых потенциалов, методом контурных токов и с помощью законов Кирхгофа, совпадают. Следовательно, решение верно.
г) Для любого замкнутого контура сумма мощностей источников тока и ЭДС равна сумме мощностей, расходуемых на сопротивлениях. Если известна сила тока в цепи, то мощность, отдаваемая источником с ЭДС
E, равна
P = [$177$]I·E, где знак "+" берётся при совпадении направлений тока и ЭДС. Мощность, выделяемая в форме тепла на сопротивлении
r, определяется законом Джоуля-Ленца:
P = I[sup]2[/sup]r.
Составим баланс мощностей для заданной схемы:
Подставляя заданные сопротивления и ЭДС и найденные значения токов, получаем:
Баланс мощностей соблюдается.
д) Потенциальную диаграмму для внешнего контура построим следующим образом: потенциал начального узла примем за 0, элемент с ЭДС
E увеличивает потенциал на величину
E, элемент с сопротивлением
R уменьшает потенциал на величину падения напряжения
IR (
I - сила тока на участке цепи, содержащем элемент). При этом значения тока и ЭДС меняют знак, если их направление противоположно направлению обхода контура.
В данном случае имеем:
Так как
[$966$][sub]5[/sub] = [$966$][sub]0[/sub], расчёт выполнен правильно.
Потенциальная диаграмма будет иметь вид: