Здравствуйте, Миронычев Виталий!

Рассмотрим первую систему уравнений. Будем полагать, что она является нормальной системой, где x - независимая переменная, а y и z - искомые функции этой переменной. Найдём общее решение заданной системы методом исключения. Дифференцируя первое уравнение, получим
y" = z' + 1.

Чтобы исключить из полученного уравнения z', заменим его значением из второго уравнения. Тогда получим
y" = y + 1,
y" - y = 1.

Решим последнее уравнение. Сначала решим однородное уравнение y" - y = 0. Характеристическое уравнение имеет вид k² - 1 = 0, а его решениями являются числа k = [$177$]1, т. е. различные действительные числа. Значит, общее решение однородного уравнения суть
y_oо = C₁e^-x + C₂e^x.

Найдём теперь частное решение y_ч неоднородного уравнения y" - y = 1. Воспользуемся тем, что его правая часть f(x) является числом, или полиномом нулевой степени, т. е. f(x) = P₀(x). Поскольку число 0 не является корнем характеристического уравнения, указанного выше, постольку частное решение будем искать в виде полинома нулевой степени, т. е. y_ч = Q₀(x) = C. Тогда y_ч' = y_ч" = 0, и подстановка в решаемое неоднородное уравнение даёт 0 - С = 1, откуда C = -1. Значит, общее решение неоднородного уравнения суть
y = y_оо + y_ч = C₁e^-x + C₂e^x - 1.

Поскольку z' = dz/dx = y = C₁e^-x + C₂e^x - 1, постольку
dz = (C₁e^-x + C₂e^x - 1)dx,
[$8747$]dz = [$8747$](C₁e^-x + C₂e^x - 1)dx,
z = -C₁e^-x + C₂e^x - x + C₃.
Если y' = z + x, то, очевидно, C₃ = 0, и окончательно
z = -C₁e^-x + C₂e^x - x.

Ответ: y = C₁e^-x + C₂e^x - 1, z = -C₁e^-x + C₂e^x - x.

С уважением.

Здравствуйте, Миронычев Виталий!
Рассмотрим вторую систему уравнений. Найдём общее решение заданной системы методом исключения.
Дифференцируя первое уравнение, получим
y" = z' + 2e^x.

Чтобы исключить из полученного уравнения z', заменим его значением из второго уравнения. Тогда получим
y" = y + x² + 2e^x,
y" - y = x² + 2e^x.

Получили линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решим его.
Сначала решим однородное уравнение y" - y = 0. Характеристическое уравнение имеет вид k² - 1 = 0,
а его решениями являются числа k = [$177$]1, т. е. различные действительные числа.
Значит, общим решением однородного уравнения является
y_o = C₁e^-x + C₂e^x.

Найдём теперь частное решение y_ч неоднородного уравнения y" - y = x² + 2e^x.
Оно будет иметь вид y_ч = Ax² + Bx + C + xe^x, т.к.
во-первых, число 0 не является корнем характеристического уравнения и
во-вторых, число 1 является корнем характеристического уравнения кратности 1.

Найдем вторую производную и подставим в уравнение:
y'_ч = 2Ax + B + e^x + xe^x
y"_ч = 2A + e^x + e^x + xe^x = 2A + 2e^x + xe^x
2A + 2e^x + xe^x - Ax² - Bx - C - xe^x = x² + 2e^x
Откуда находим: A = -1, B = 0, C = -2
А тогда y_ч = -x² - 2 + xe^x
и
y = y_о + y_ч = C₁e^-x + C₂e^x - x ² + xe^x - 2 = C₁e^-x + e^x(C₂ + x) - x ² - 2.

Найдем z.
z' = dz/dx = y + x² = C₁e^-x + C₂e^x - x ² + xe^x - 2 + x² = C₁e^-x + C₂e^x + xe^x - 2
А тогда
dz = (C₁e^-x + C₂e^x + xe^x - 2) dx,
[$8747$]dz = [$8747$](C₁e^-x + C₂e^x + xe^x - 2) dx,
z = -C₁e^-x + C₂e^x + xe^x - e^x - 2x + C₃ = -C₁e^-x + e^x(C₂ + x - 1) - 2x + C₃.

Если y' = z + 2e^x, то, очевидно, C₃ = 0, и окончательно
z = -C₁e^-x + e^x(C₂ + x - 1) - 2x.

Ответ:
y = C₁e^-x + e^x(C₂ + x) - x ² - 2,
z = -C₁e^-x + e^x(C₂ + x - 1) - 2x.