Здравствуйте, MrSpencer.

Насчет направления скорости вверх можно утверждать, что это некорректно, поскольку шайба тогда будет не скользить по наклонной плоскости, а совершать подъем вверх. Поэтому будем считать, что вектор скорости шайбы направлен под углом α к горизонту.

Обозначим массу шайбы через m. На шайбу действует сила трения F_тр = k ∙ m ∙ g ∙ cos α. Кинетическая энергия шайбы в начальный момент времени равна К = m ∙ v₀²/2. После преодоления расстояния s по наклонной плоскости эта кинетическая энергия частично будет затрачена на работу против силы трения, равную A₁ = F_тр ∙ s = k ∙ m ∙ g ∙ s ∙ cos α, а частично – на работу против силы тяжести, равную A₂ = m ∙ g ∙ h = m ∙ g ∙ s ∙ sin α,
т. е.
m ∙ v₀²/2 = k ∙ m ∙ g ∙ s ∙ cos α + m ∙ g ∙ s ∙ sin α,
v₀²/2 = k ∙ g ∙ s ∙ cos α + g ∙ s ∙ sin α,
v₀²/2 = g ∙ s ∙ (k ∙ cos α + sin α),
s = v₀²/(2 ∙ g) ∙ 1/(k ∙ cos α + sin α). (1)

Выражение (1) задает путь s как функцию угла α наклона плоскости. Дифференцируя это выражение, получаем
ds/dα = v₀²/(2 ∙ g) ∙ (-1)/(k ∙ cos α + sin α)² ∙ (-k ∙ sin α + cos α). (2)

Приравнивая выражение (2) нулю, получаем
v₀²/(2 ∙ g) ∙ (-1)/(k ∙ cos α + sin α)² ∙ (-k ∙ sin α + cos α) = 0,
-k ∙ sin α + cos α = 0,
k ∙ sin α = cos α,
(sin α)/cos α = 1/k,
α = arctg (1/k) – искомое значение угла, поскольку опыт показывает, что катясь по плоскости, не наклоненной под некоторым углом к горизонту, шайба пройдет больший путь.

В этом случае
cos α = cos arctg (1/k) = k/√(1 + k²),
sin α = sin arctg (1/k) = 1/√(1 + k²),
k ∙ cos α + sin α = k ∙ cos arctg (1/k) + sin arctg (1/k) = k²/√(1 + k²) + 1/√(1 + k²) = √(1 + k²).
Расстояние, пройденное шайбой, согласно формуле (1), равно
s = v₀²/(2 ∙ g) ∙ 1/√(1 + k²).

Вам следует проверить выкладки во избежание ошибок.

С уважением.