Здравствуйте, Oliko!
Вы можете устроиться на работу во вторую организацию по совместительству. Первый работодатель об этом не узнает, поскольку обязательными документами в этом случае являются паспорт и диплом, мед комиссия при необходимости (даже страховое пенсионное свидетельство не обязательно по Трудовому Кодексу, но лучше все таки предоставить). Возможность договора подряда зависит от выполняемой Вами работы.
В любом случае совместительство лучше, поскольку в этом случае на Вас распространяются все нормы трудового законодательства

Здравствуйте, Oliko!

Во-первых, в первой организации должна находиться Ваша трудовая книжка, но никак не ИНН. Они должны были сделать копию и вернуть вам ИНН обратно, это Ваш личный документ.
Далее, не совсем понятно, собираетесь ли Вы совмещать две работы или первую оставите.
Если Вы не намерены продолжать работать в первой организации, то лучше всётаки уволиться в законном порядке, чтобы не занимать, так сказать, место.
Если же Вы готовы совмещать работы в двух организациях, тогда оформление по совместительству вполне законно.
Договор подряда - обычно договор на выполнение разовых услуг, по принципу "сделал работу - получил расчёт". По договору на оказание услуг - тоже самое. В обоих случаях никаких отчислений в фонды, никакого стажа, никаких больничных и отпусков. Хотя если у Вас будет идти стаж по основному месту работы (в первой организации), тогда, возможно, есть смысл заключить договор на оказание услуг. Решать Вам.

Здравствуйте, Oliko!
Лучше оформиться по совместительству. В этом случае трудовую можно не заполнять, достаточно трудового договора. Правда работать Вам в этом случае больше 20 ч. в неделю нельзя. Значит и з/п будете получать (если там оклад) только половину от ставки.
ИНН-это индивидуальный номер налогоплательщика, на работе достаточно номера.
Если вы устроитесь по гражданско-правовому договору, то на Вас не будут распространяться гарантии Трудового законодательства:нет отпуска, нет оплаты больничного (если не укажете в договоре, что за Вас будут отчислять взносы в ФСС). Отличается тем, что выполняете определенную работу и по акту выполненных работ получаете оплату.
Еще не факт, что если Вас работа будет устраивать, то Вас примут на должность (ее к тому времени могут убрать). И по договору гражданско-правового характера не возможно обязать заказчика предоставлять Вам заказы (он может быть разовый).
А какой лучше из двух... Смотря какую работу вы будете выполнять.