Здравствуйте, elektro.student!
Прямая
![](https://rfpro.ru/formulas/24406.png)
задана общими уравнениями плоскостей, результатом пересечения которых она является:
Нормальный вектор первой плоскости суть
![](https://rfpro.ru/formulas/95738.png)
второй --
![](https://rfpro.ru/formulas/95742.png)
Вычислим векторное произведение этих векторов:
Этот вектор является направляющим для прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Вычислим координаты некоторой точки прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Для этого вычислим одно из решений системы уравнений
Определитель
![](https://rfpro.ru/formulas/95750.png)
не равен нулю. Примем его за базисный минор основной матрицы системы. В этом случае
![](https://rfpro.ru/formulas/16647.png)
-- свободная переменная. Перенесём слагаемые с ней в правые части уравнений и присвоим переменной произвольное значение
![](https://rfpro.ru/formulas/76343.png)
Тогда получим
Решим эту систему уравнений методом Крамера:
Следовательно,
Примем
![](https://rfpro.ru/formulas/25227.png)
Тогда прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/24406.png)
принадлежит точка
![](https://rfpro.ru/formulas/95771.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/95765.png)
-- канонические уравнения прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/64140.png)
при этом
![](https://rfpro.ru/formulas/95767.png)
-- параметрические уравнения прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Прямая
![](https://rfpro.ru/formulas/36740.png)
параллельна прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/39615.png)
поэтому вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/95768.png)
является и её направляющим вектором. Поскольку прямая
![](https://rfpro.ru/formulas/36740.png)
проходит через точку
![](https://rfpro.ru/formulas/95769.png)
постольку её канонические уравнения суть
Прямая
![](https://rfpro.ru/formulas/36740.png)
проходит через точку
![](https://rfpro.ru/formulas/95772.png)
Определим координаты проекции
![](https://rfpro.ru/formulas/50744.png)
этой точки на прямую
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Составим сначала уравнение плоскости, которая проходит через точку
![](https://rfpro.ru/formulas/16679.png)
перпендикулярно прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/36740.png)
(и прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/24406.png)
). Вектор
![](https://rfpro.ru/formulas/16553.png)
является нормальным вектором указанной плоскости, поэтому
-- общее уравнение плоскости, которая проходит через точку
![](https://rfpro.ru/formulas/16679.png)
перпендикулярно прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/56684.png)
Координаты точки
![](https://rfpro.ru/formulas/50744.png)
должны удовлетворять общим уравнениям этой плоскости и плоскостей, результатом пересечения которых является прямая
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Следовательно,
Решение этой системы показано здесь:
Ссылка >>. Ответ такой:
то есть
![](https://rfpro.ru/formulas/95786.png)
-- проекция точки
![](https://rfpro.ru/formulas/16679.png)
на прямую
![](https://rfpro.ru/formulas/24404.png)
Теперь вычислим расстояние между прямыми
![](https://rfpro.ru/formulas/24406.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/36740.png)
как расстояние между точками
![](https://rfpro.ru/formulas/16679.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/95783.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/95785.png)
(ед. длины).
Вычислим координаты точки
![](https://rfpro.ru/formulas/26277.png)
пересечения прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/24406.png)
и плоскости
![](https://rfpro.ru/formulas/49018.png)
которая задана уравнением
![](https://rfpro.ru/formulas/95787.png)
(решение этой системы показано здесь:
Ссылка >>), то есть
![](https://rfpro.ru/formulas/95791.png)
-- точка пересечения прямой
![](https://rfpro.ru/formulas/24406.png)
и плоскости
Об авторе:
Facta loquuntur.