Здравствуйте, ushatalal!
Предлагаю Вам следующее решение задачи.
Область определения заданной функции -- вся плоскость
![](https://rfpro.ru/formulas/25353.png)
Функция дифференцируема в каждой точке плоскости.
Определим стационарные точки функции, переписав для удобства её формулу так:
Из уравнения (1) имеем
При подстановке выражения (3) в уравнение (2) получим тождество, значит, стационарными являются точки вида
![](https://rfpro.ru/formulas/78882.png)
Подставим выражение (4) в уравнение (2). Тогда получим
что с учётом выражения (4) даёт следующие стационарные точки:
Кроме этого, из уравнения (2) имеем
При подстановке выражения (5) в уравнение (1) получим
чему соответствуют критические точки
При подстановке выражения (6) в уравнение (1) получим
чему соответствуют стационарные точки
Определим вторые производные заданной функции:
Выявленные стационарные точки исследуем на достаточность наличия или отсутствия экстремума.
Для точек вида
![](https://rfpro.ru/formulas/78901.png)
имеем
то есть имеет место сомнительный случай. Это относится и к точкам
![](https://rfpro.ru/formulas/78906.png)
Но во всех точках оси
![](https://rfpro.ru/formulas/1251.png)
функция
![](https://rfpro.ru/formulas/16647.png)
принимает нулевое значение и, как я понимаю, не имеет на этой оси точек экстремума.
Для точки
![](https://rfpro.ru/formulas/78911.png)
имеем
поскольку
![](https://rfpro.ru/formulas/78916.png)
постольку в этой точке у заданной функции нет экстремума.
Для точки
![](https://rfpro.ru/formulas/78917.png)
имеем
поскольку
![](https://rfpro.ru/formulas/78927.png)
и
![](https://rfpro.ru/formulas/78929.png)
постольку заданная функция имеет в этой точке максимум. Соответствующее значение функции составляет
Об авторе:
Facta loquuntur.