Здравствуйте, G-buck!
1.Особых точек, очевидно, три: 1, 0 и бесконечность. По очереди:
![](https://rfpro.ru/formulas/21020.png)
.
Это полюс(2 порядка). Хотя бы потому, что
![](https://rfpro.ru/formulas/20993.png)
регулярна в 1 и потому в её разложении в ряд есть только главная часть. Вычет найдём просто найдя (-1) член ряда Лорана
![](https://rfpro.ru/formulas/20994.png)
,
![](https://rfpro.ru/formulas/20995.png)
.
Т.е. вычет равен
![](https://rfpro.ru/formulas/20996.png)
.
![](https://rfpro.ru/formulas/16966.png)
.
Это существенно особая точка, т.к. предела(даже бесконечного) не существует. Действительно, если устремлять z к нулю вдоль действительной оси, модуль f(z) стремится к бесконечности, а если устремлять вдоль мнимой, модуль
![](https://rfpro.ru/formulas/20993.png)
не превышает 1, а потому модуль f(z) ограничен.
Вычет просто разложением в ряд найти не получится, т.к. и дробь и экспонента дадут бесконечное число членов. Вспомним определение вычета:
![](https://rfpro.ru/formulas/20998.png)
,
где
![](https://rfpro.ru/formulas/5.png)
- положительно ориентированная малая окружность с центром в нуле.
![](https://rfpro.ru/formulas/20999.png)
непрерывна(и даже регулярна) в нуле, поэтому
![](https://rfpro.ru/formulas/21002.png)
.
Действительно,
, где
- некоторая регулярная в нуле функция и ![](https://rfpro.ru/formulas/21004.png)
и потому
.
Второй интеграл равен нулю, т.к.
,
где
. Т.к. альфа стремится к нулю, при z стремящемся к нулю, мю стремится к нулю при уменьшении радиуса окружности(выражение слева от радиуса не зависит, т.к. подынтегральная функция голоморфна в нуле). Потому, левый интеграл равен нулю.
А уже интеграл от экспоненты ищем, глядя на ряд Лорана:
![](https://rfpro.ru/formulas/21019.png)
Т.е. искомый вычет в нуле равен 1.
![](https://rfpro.ru/formulas/21021.png)
.
Это устранимая особая точка, т.к.
![](https://rfpro.ru/formulas/21022.png)
. Действительно, дробь, очевидно, стремится к нулю, экспонента тоже:
![](https://rfpro.ru/formulas/21023.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/21024.png)
.
В том, что вычет равен нулю, можно убедиться по-честному проинтегрировав по большой окружности с центром в нуле:
![](https://rfpro.ru/formulas/21121.png)
![](https://rfpro.ru/formulas/21124.png)
, при
![](https://rfpro.ru/formulas/21123.png)
.