Здравствуйте, Игорь!
Это ограниченная задача трех тел. Расстояния между всеми телами постоянны, а это возможно в двух случаях: если планета вместе с обеими звездами образует равносторонний треугольник (точка Лагранжа), либо если планета лежит вместе с ними на одной прямой (точка Эйлера).
В первом случае расстояние между звездами равно
r, и поскольку
m<<M, массой планеты можно пренебречь и считать, что звезды обращаются вокруг общего центра масс по круговой орбите радиуса
r/2 . Согласно третьему закону Кеплера, квадрат периода обращения пропорционален кубу среднего расстояния между ними:
где
T - период,
a - среднее расстояние,
M[sub]1[/sub] и
M[sub]2[/sub] - массы тел. В нашем случае
M[sub]1[/sub] = M[sub]2[/sub] = M,
a = r и
Cкорость
v относительно центра масс равна
Тогда для одной звезды
а суммарная кинетическая энергия равна
Во втором случае планета находится на середине отрезка, соединяющего обе звезды. Тогда расстояние между звездами равно
2r, и они обращаются вокруг общего центра масс по круговой орбите радиуса
r. Повторив те же расчеты, получаем
и суммарная кинетическая энергия равна