Здравствуйте, sereggg.
1. Изобразим треугольник, поместив его на координатной плоскости согласно рисунку.
Находим координаты вершин треугольника:
O(0; 0),
A(2 • cos 60º; 0) = A(1; 0),
B(1; 2 • sin 60º) = B(1; √3).
Находим площадь S треугольника:
S = |OA||AB|/2 = 1 • √3/2 = √3/2 (кв. ед.).
Находим плотность γ(x; y) треугольника:
γ = m/S = 1/(√3/2) = 2/√3 (кг/кв. ед.).
Пользуясь известной из курса интегрального исчисления формулой, находим момент инерции треугольника относительно заданной оси:
I
O =
(D)∫∫(x
2 + y
2)γ(x; y)dxdy = 2/√3 •
0∫
1 dx
0∫
x√3 (x
2 + y
2)dy =
= 2/√3 •
0∫
1 dx • (x
2y + y
3/3)|
0x√3 = 2/√3 •
0∫
1 dx • (x
3√3 + x
3√3) = 4 •
0∫
1 x
3dx = 4 • (x
4/4)|
01 =
= 4 (кг • кв. ед.).
Ответ: 4 кг • кв. ед.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.