Условие: В треугольнике ABC чевианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке P .
Заданы соотношения: AB₁ : B₁C = 2:1 , BA₁ : A₁C = 8:1 .
Вычислить отношения : AC₁ : C₁B , AP : PA₁ , BP : PB₁ .

Решение: Зададим переменные с удобными именами для операций с отношениями : AbC = AB₁ : B₁C = 2:1 = 2 ,
BaC = BA₁ : A₁C = 8:1 = 8 , искомое AcB = AC₁ : C₁B .
Как и в Вашей прошлой консультации rfpro.ru/question/201643 (Ссылка1) на эту же тему, вспоминаем, что такое Чевианы (см Ссылка2) и их главные свойства. Чевианы - это менее замечательные отрезки треугольников, чем привычные нам высоты, медианы и биссектрисы, однако все чевианы пересекаются в одной точке, и древние математики сочинили из этого свойства несколько полезных теорем для решений задач. Из множества этих теорем, для решения текущей задачи нам понадобятся всего две:

1)Теорема Чевы связывает соотношения всех треугольниковых сторон, разделённых чевианами:
(AB₁ : B₁C)·(CA₁ : A₁B)·(BC₁ : C₁A) = 1 - в этом изящном выражении Чева великодушно разрешил нам менять буквы на свои, начинать перечисление-обход с любой Вершины и двигаться в любом направлении (по часовой стрелке, либо против). Однако, надо строго соблюдать последовательность перечисления букв и НЕ менять выбранное направление до окончания написания уравнения!

Я начал AB₁ : B₁C только потому, что это отношение дано в Условии, и его можно заменить числом
AbC = AB₁ : B₁C = 2:1 = 2 . А далее продолжаем, как завещал умный италиец!
Вместо CA₁ : A₁B нам задано BA₁ : A₁C = 8:1 , и, чтоб воплотить Чева-идею, выворачиваем отношение наизнанку и получаем:
AbC·(1 / BaC)·(1 / AcB) = 1 , откуда вычисляем искомое AC₁ / C₁B :
AcB = AbC / BaC = 2 / 8 = 1/4 . Половина задачи решена, все стороны треугольника ABC разделены чевианами.

2)Теорема Ван-Обеля о треугольнике связывает соотношения 3х отрезков, исходящих из любой одной вершины треугольника: а именно: какой-либо Чевианы и прилежащих к ней сторон. В её уравнении все отношения начинаются с одинаковой буквы, тк все 3 связанные отрезка исходят из общей вершины:
AP : PA₁ = AB₁ : B₁C + AC₁ : C₁B = AbC + AcB = 2 + 1/4 = 9/4 .
BP : PB₁ = BC₁ : C₁A + BA₁ : A₁C = BcA + BaC = 1 / AcB + 8 = 1 / (1/4) + 8 = 12
Ответ : Искомые отношения: AC₁ : C₁B = 1/4 , AP : PA₁ = 9/4 , BP : PB₁ = 12/1

Мне нельзя выдавать ошибки. Поэтому, чтобы убедиться в правильности Ответа я вычислил эти же соотношения методом Аналитической геометрии. Этот метод гораздо более трудоёмкий для текущей задачи, поэтому я использовал популярное приложение Маткад (ссылка3) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом реального треугольника прилагаю. В моём треугольнике точно выдержаны Условия соотношений (в отличие от исходного, схематичного чертежа от автора задачи). Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Доказательство теоремы Чевы Вы можете посмотреть в статье "Вокруг теорем Чевы и Менелая.pdf" 630 кБ Ссылка4 . =Удачи!