Условие: В треугольнике ABC чевианы AA
1, BB
1, CC
1 пересекаются в точке P .
Заданы соотношения: AC
1 : C
1B = 2 : 3 , BP : PB
1 = 3:1 .
Вычислить отношения : AB
1 : B
1C , BA
1 : A
1C , CP : PC
1 .
Решение: Зададим переменные для отношений : AcB = AC
1 : C
1B = 2/3 , BPb = BP : PB
1 = 3/1 = 3 .
Читаем статью "Чевиана"
ru.wikipedia.org/wiki/Чевиана Ссылка и применяем теорему Ван-Обеля о треугольнике, кот-я связывает соотношения одной пары чевианы с соотношениями сторон их общей вершины:
BP : PB
1 = BC
1 : C
1A + BA
1 : A
1C [$8658$] BPb = BcA + BA
1C [$8658$]
BaC = BPb - BcA = 3 - 1 / AcB = 3 - 1 / (2/3) = 3 - 3/2 = 3/2 отношение BA
1 : A
1C .
Используем теорему Чевы (из той же статьи), кот-я связывает соотношения всех треугол-сторон, разделённых чевианами:
(AC
1 : C
1B)·(BA
1 : A
1C)·(CB
1 : B
1A) = 1 [$8658$] AcB·BaC·CbA = 1 [$8658$]
CbA = 1 / (AcB·BaC) = 1 / [(2/3)·(3/2)] = 1/1 = 1 - это отношение CB
1 : B
1A .
Искомое AB
1 : B
1C = AB
1C = 1 / CB
1A = 1 / 1 = 1
И снова теорема Ван-Обеля : CP : PC
1 = CA
1 : A
1B + CB
1 : B
1A [$8658$] CPc = CaB + CbA [$8658$]
CPc = 1 / BaC + 1 = 1 / (3/2) + 1 = 2/3 + 1 = 5/3 - это отношение CP : PC
1 .
Ответ : AB
1 : B
1C = 1 , BA
1 : A
1C = 3/2 , CP : PC
1 = 5/3 .
Чтобы убедиться в правильности Ответа я вычислил эти же соотношения методом Аналитической геометрии. Этот метод гораздо более трудоёмкий для текущей задачи, поэтому я использовал популярное приложение
Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Доказательство теоремы Чевы Вы можете посмотреть в статье "
Вокруг теорем Чевы и Менелая.pdf" 630 кБ
Ссылка3. =Удачи!