Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1058

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

314

Россия, Северодвинск


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

278

Россия, Санкт-Петербург


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

177

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

105


ID: 404002

sglisitsyn

6-й класс

42


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

31

Россия, Омск


8.10.3

30.10.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-04 22:46:17-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 201643

Раздел:  Математика
Автор вопроса: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Дата: 09.11.2021, 18:15 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! Прошу помощи у экспертов в следующем вопросе:
Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P. Известно, что AC1:C1B=2:3, BP:PB1=3:1. Найдите следующие отношения.
AB1:B1C=
BA1:A1C=
CP:PC1=

-----
Прикрепленные файлы:

Условие: В треугольнике ABC чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P .
Заданы соотношения: AC1 : C1B = 2 : 3 , BP : PB1 = 3:1 .
Вычислить отношения : AB1 : B1C , BA1 : A1C , CP : PC1 .

Решение: Зададим переменные для отношений : AcB = AC1 : C1B = 2/3 , BPb = BP : PB1 = 3/1 = 3 .
Читаем статью "Чевиана" ru.wikipedia.org/wiki/Чевиана Ссылка и применяем теорему Ван-Обеля о треугольнике, кот-я связывает соотношения одной пары чевианы с соотношениями сторон их общей вершины:
BP : PB1 = BC1 : C1A + BA1 : A1C ⇒ BPb = BcA + BA1C ⇒
BaC = BPb - BcA = 3 - 1 / AcB = 3 - 1 / (2/3) = 3 - 3/2 = 3/2 отношение BA1 : A1C .

Используем теорему Чевы (из той же статьи), кот-я связывает соотношения всех треугол-сторон, разделённых чевианами:
(AC1 : C1B)·(BA1 : A1C)·(CB1 : B1A) = 1 ⇒ AcB·BaC·CbA = 1 ⇒
CbA = 1 / (AcB·BaC) = 1 / [(2/3)·(3/2)] = 1/1 = 1 - это отношение CB1 : B1A .
Искомое AB1 : B1C = AB1C = 1 / CB1A = 1 / 1 = 1

И снова теорема Ван-Обеля : CP : PC1 = CA1 : A1B + CB1 : B1A ⇒ CPc = CaB + CbA ⇒
CPc = 1 / BaC + 1 = 1 / (3/2) + 1 = 2/3 + 1 = 5/3 - это отношение CP : PC1 .
Ответ : AB1 : B1C = 1 , BA1 : A1C = 3/2 , CP : PC1 = 5/3 .

Чтобы убедиться в правильности Ответа я вычислил эти же соотношения методом Аналитической геометрии. Этот метод гораздо более трудоёмкий для текущей задачи, поэтому я использовал популярное приложение Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Доказательство теоремы Чевы Вы можете посмотреть в статье "Вокруг теорем Чевы и Менелая.pdf" 630 кБ Ссылка3. =Удачи!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
13.11.2021, 15:48
5
Мини-форум консультации # 201643

q_id

Александр Айдурамов Микилович

Посетитель

ID: 405465

1

= общий =    13.11.2021, 21:33
Алексеев Владимир Николаевич:

Хочу вам сказать большое спасибо за вашу помощь!

=====
smile smile smile smile

q_id

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

2

= общий =    14.11.2021, 02:19
Александр Айдурамов Микилович:

НаЗдоровье Вам! Благодаря Вам я узнал, что такое Чевианы. Заходите, когда будет нужно. smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1058

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 314

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 278

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 197

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 105

Лысков Игорь Витальевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 43