Дано: функция: f(x) = x - 1 , если x < 0 , f(x) = x² , если 0 <= x < 2 , f(x) = 2·x , если 2 <= x <= 3 , f(x) = -1 / (x - 3) , если x > 3 .
Требуется: Исследовать непрерывность функции f (x), Найти точки разрыва функции и определить их характер. Выполнить геометрическую иллюстрацию.

Решение: Начинаем с построения графика, чтоб получить общее представление и особенности нашей функции. Вы можете строить график любым удобным Вам способом (по точкам, использовать Excel-приложение , OnLine-графо-построители…). Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка1) . Маткад избавляет меня от частых ошибок.

Исследование проводим согласно методике, хорошо описанной в учебной статье "Непрерывность функции. Точки разрыва. Как исследовать функцию на непрерывность?" Ссылка2.
Определение: Функция непрерывна в точке k , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке:
_x[$8594$]kLim f(x) = f(k) .
На графике хорошо видно, что наша функция непрерывна на интервалах (-[$8734$] ; 0) , (0 ; 3) , (3 ; +[$8734$]) . Любая точка из этих интервалов удовлетворяет условию непрерывности, в тч точка X₂ = 2 .

Ответ : В точке X₁ = 0 функция имеет разрыв первого рода (условие непрерывности нарушено, односторонние пределы различны, но конечны).
В точке X₃ = 3 функция терпит разрыв второго рода (право-сторонний предел бесконечен).
Маткад-скриншот с формулами и графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом. =Удачи!