Условие: определённый интеграл ₀^0.1[$8747$] [cos(x⁴) - 1]·dx / x⁸
требуется вычислить с точностью 0,001 , представив подынтегральную функцию в виде степенного ряда.

Решение: читаем учебную статью "Приближенное вычисление определённого интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд" Ссылка1

Чтобы получить ряд нашей функци f(x) = [cos(x⁴) - 1] / x⁸ , разложим в ряд Маклорена сначала функцию
cos([$945$]) = 1 - [$945$]² / 2 + [$945$]⁴ / 24 - … - этих 3х членов вполне достаточно, тк добавление членов этого убывающего знако-чередующегося ряда практически не повышает точность вычисления.
В нашей задаче [$945$] = x⁴ . Значит, f4(x) = cos(x⁴) = 1 - (x⁴)² / 2 + (x⁴)⁴ / 24 - … = 1 - x⁸ / 2 + x¹⁶ / 24 - …

Вычисляем числитель дроби: fч(x) = f4(x) - 1 = (1 - x⁸ / 2 + x¹⁶ / 24 - …) - 1 = -x⁸ / 2 + x¹⁶ / 24 - … , и так далее.

Я сделал вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с формулами прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ : ₀^0.1[$8747$] [cos(x⁴) - 1]·dx / x⁸ [$8776$] -0,050 с точностью 0,001 .