Здравствуйте, oligator.a.y!

Для решения задачи воспользуемся следующими определениями и утверждениями. Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

Квадратное уравнение

называется характеристическим уравнением для уравнения
(Используем также прикреплённый файл.)

Рассмотрим сначала уравнение Корнями его характеристического уравнения являются числа и

Рассмотрим теперь пять заданных уравнений, отличающихся правыми частями.

1) Правая часть заданного уравнения имеет вид (случай 2а, частный вариант). Поэтому его частное решение имеет вид

где -- вещественные числа.

2) Правая часть заданного уравнения имеет вид где причём числа не являются корнями характеристического уравнения (случай 2а). Поэтому его частное решение имеет вид

где -- вещественные числа.

3) Правая часть имеет вид где -- многочлен степени причём является корнем характеристического уравнения кратности (случай 1б). Тогда

где -- вещественные числа.

4) Правая часть имеет вид где -- многочлен степени причём является корнем характеристического уравнения кратности (случай 1б). Тогда

где -- вещественные числа.

5) Заданное дифференциальное уравнение с правой частью как я понимаю, можно представить в виде совокупности двух уравнений

Правая часть первого уравнения соответствует случаю 1б при Его частное решение суть где -- вещественное число. Правая часть второго уравнения соответствует случаю 1б (частный вариант). Поэтому его частное решение суть где -- вещественные числа. Значит, частное решение заданного уравнения суть


Литература
Сборник задач по высшей математике. 2 курс / [К. Н. Лунгу и др.]. -- М.: Айрис-пресс, 2007.

Задача оказалась для меня очень утомительной. Поэтому обязательно проверьте моё решение, если Вы хотите воспользоваться им!