Здравствуйте, alexandr!
Условие : E=10 В , R2=12 Ом, R3=8 Ом, R4=2 Ом . Напряжения отпирания диода Ed = 1 В .
Мощность нагруженного диода Pн = 1,25 Вт .
Вычислить пороговое значение R1 для случаев отпирания диода и для нагрузки диода мощностью Pн .

Ваша задача становится лёгкой, если не полениться пере-чертить электро-схему для её удобо-читаемости. Многие недо-оценивают эту казалось бы "дурную работу". Однако в моей практике было много случаев, когда мои сотрудники не могли решить техническую проблему. Шеф поручал "трудняшку" мне, освобождал меня от прочей рутины, и я выручал наше подразделение. Коллеги удивлялись, "Как тебе это удалось?!" . Я честно признавался, что я всего лишь победил свою лень и перечертил "закрученную" схему в ясно-понятный вид .

Опытный специалист Константин Николаевич уже показал Вам поворот схемы, после которого всё легко читается и осмысливается: Теперь сигнал распространяется слева-направо, а потенциал спадает сверху-вниз (=популярный приём у электронщиков). Продолжаем оптимизацию схемы…

Для случая (a) "Ключ K замыкают" удаляем ключ и диод из схемы, потому что вопрос хоть и сформулирован "При каком максимальном значении R1 ток потечет через диод?", мы понимаем, что на самом деле никакого тока ч-з диод нету. В процессе поиска зависимости напряжения отпирания диода от значения сопротивления R1 нам надо всего лишь подобрать такое максимальном значение R1 , при котором диод откроется (начнёт пропускать ток).

На оптимизированной схеме сразу видны 2 независимых и простых Делителя напряжения. Почитайте статью "Делитель напряжения" Ссылка1 , и Вы мигом сообразите, что напряжение на резисторе R4 легко вычисляется как
Um = E·R4 / (R3 + R4) = 2 В .
При бесконечно-большом сопротивлении R1 (при "обрыве" его) диод заперт обратным напряжением. Уменьшая сопротивление R1, мы увеличиваем ток I1 , который повышает напряжение на R2 . И когда потенциал в точке N (относительно нуль-точки "0") станет "плюсовее" потенциала в точке M на величину Ed , то начнётся ток ч-з диод (диод "откроется").

Вычисляем : Un = Um + Ed = 3 В.
Поскольку Un = E·R2 / (R1 + R2)
то R1 = E·R2 / Un - R2 = 28 Ом .
Ответ1 : пороговое (максимальное) значении R1 = 28 Ом .
Проверим, действительно ли делитель напряжения R1R2 обеспечивает потенциал отпирания Un = 3 В ?
Un = E·R2 / (R1 + R2) = 3 В - всё верно!

Для вычисления R1, задающего мощность тепловых потерь на диоде, вычислим ток диода, соответствующий заданной мощности Pн = 1,25 Вт :
Id = Pн / Ed = 1,25 А .
У этого идеально-вычурного диода напряжение отпирания Ed = 1В равно рабочему прямому напряжению при любом токе (В реальности такого не бывает, в практических расчётах лучше применять экспоненциальную зависимость вольт-амперной характеристики диода). Для расчёта такого странного диода лучше заменить ключ на перемычку, а диод на источник ЭДС c напряжением Ed и током Id . Причём, направление тока Id у нас вопреки полярности Ed ! Поэтому диод-псевдо-источник поглощает мощность (сопротивляется и греется) а не отдаёт её.

В схеме 3 узла и 7 неизвестных . По первому закону Кирхгофа составляем 2 уравнения, остальные 7-2 = 5 - по 2му закону.
Систему и её решение я показал на скриншоте приложения Маткад (ссылка) . Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ2 : мощность заданных тепловых потерь на диоде обеспечивается при сопротивлении R1 = 3 Ома.
Контрольная проверка сделана.