Здравствуйте, Русинов Алексей Игоревич!

12.4. (sin 3x)/x - cos 3x

Воспользуемся стандартными разложениями
sin u = u - u³/3! + u⁵/5! - ... + (-1)ⁿu^{2n + 1}/(2n + 1)! + ... (-[$8734$] < u < [$8734$]),
cos u = 1 - u²/2! + u⁴/4! - ... + (-1)ⁿu²ⁿ/(2n)! + ... (-[$8734$] < u < [$8734$]),
положив u = 3x:
sin 3x = 3x - (3x)³/3! + (3x)⁵/5! - ... + (-1)ⁿ(3x)^{2n + 1}/(2n + 1)! + ...,
cos 3x = 1 - (3x)²/2! + (3x)⁴/4! - ... + (-1)ⁿ(3x)²ⁿ/(2n)! + ... .

Тогда
(sin 3x)/x = (3x - (3x)³/3! + (3x)⁵/5! - ... + (-1)ⁿ(3x)^{2n + 1}/(2n + 1)! + ...)/x =
= 3 - 3³x²/3! + 3⁵x⁴/5! + (-1)ⁿ3^{2n + 1}x²ⁿ/(2n + 1)! + ...,
(sin 3x)/x - cos 3x =
= (3 - 3³x²/3! + 3⁵x⁴/5! + (-1)ⁿ3^{2n + 1}x²ⁿ/(2n + 1)! + ...) - (1 - (3x)²/2! + (3x)⁴/4! - ... + (-1)ⁿ(3x)²ⁿ/(2n)! + ...) =
= 3(1 - (3x)²/3! + (3x)⁴/5! - ... + (-1)ⁿ(3x)²ⁿ/(2n + 1)! + ...) - (1 - (3x)²/2! + (3x)⁴/4! - ... + (-1)ⁿ(3x)²ⁿ/(2n)! + ...) =
= 3[$8721$]_{n = 0}^{n = [$8734$]}(-1)ⁿ(3x)²ⁿ/(2n + 1)! - [$8721$]_{n = 0}^{n = [$8734$]}(-1) ⁿ(3x)²ⁿ/(2n)!

12.16. 1/⁴[$8730$](16 - 3x)

1/⁴[$8730$](16 - 3x) = 1/⁴[$8730$](16(1 - 3x/16)) = 1/2 [$183$] (1 - 3x/16)^-1/4 = 1/2 [$183$] (1 + (-3x/16))^-1/4.

Воспользуемся стандартным разложением
(1 + u)^m = 1 + mu/1! + m(m - 1)u²/2! + ... + m(m - 1) [$183$] ... [$183$] (m - n + 1)uⁿ/n! + ... (-1 < u < 1),
положив u = 3x/16 при m = -1/4:
(1 + 3x/16)^-1/4 = 1 + (-1/4) [$183$] (3x/16)/1! + (-1/4) [$183$] (-1/4 - 1) [$183$] (3x/16)²/2! + (-1/4) [$183$] (-1/4 - 1) [$183$] (-1/4 - 2) [$183$] (3x/16)³/3! + ... +
+ (-1/4) [$183$] (-1/4 - 1) [$183$] (-1/4 - 2) [$183$] ... [$183$] (-1/4 - n + 1) [$183$] (3x/16)ⁿ/n! + ... =
= 1 - 3x/64 + 45x²/8192 - 1215x³/1572864 + ... .

С уважением.

Здравствуйте, Русинов Алексей Игоревич!
15.16
Переходим к операторному уравнению, учитывая, что для оригинала sin 2t изображение 2/(p^2+4):




Оригинал для второго слагаемого табличный, а для нахождения первого используем теорему свертки.
В итоге, возвращаясь к оригиналам, получим: