Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 182628
26.03.2011, 19:50
106.68 руб.
0 10 2
Образование
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вычислите пределы функций
x/(x+2)
а) lim (ln(1+x)/6x) (предел функции натуральный логарифм (1+х), делённый на 6х, всё это в степени х/(х+2), х стремится к 0)
x->0

2+x
б) lim (tg 4x/x) (предел функции тангенс 4х, делённый на х, всё это в степени 2+х, х стремится к 0)
x->0


Если можно, более-менее подробное объяснение. Давненько изучал эту тему. Теперь опять пришлось вернуться к этому. Помню, что нужно использовать второй замечательный предел. Однако в моем учебнике подобные примеры не рассматриваются, рассматриваются примеры намного проще этих.

Обсуждение

Неизвестный
26.03.2011, 20:20
общий
это ответ
Здравствуйте, Aleksandrkib!
Если я правильно понял, то ни в первом ни во втором пределе никаких неопределенностей нет. Неопределенности возникают тогда, когда приходится делить 0 на 0, или [$8734$] на [$8734$]. Или возводить [$8734$] в нулевую степень и т.д. Здесь ничего этого нет поэтому здесь мы поступаем так (если я неправильно понял условие, то Вы сообщите в мини-форуме):

Пояснение: при x->0 ln(1+x) эквивалентен x, и, поэтому, основание степени стремится к 1/6 (x сокращается). Показатель же степени стремится к 0.
Во втором примере

Пояснение: при x->0 tg 4x эквивалентен 4x, и, поэтому, основание степени стремится к 4 (x сокращается). Показатель же степени стремится к 2.
Если что не так понял, пишите.
С уважением
Неизвестный
26.03.2011, 20:31
общий
27.03.2011, 00:44
это ответ
Здравствуйте, Aleksandrkib!

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых функций:
при
Получаем:
Неизвестный
26.03.2011, 20:43
общий
Здравствуйте, удалите пожалуйста мой ответ. Он оказался аналогичным первому ответу от Саныча, и тем более в конце формула что-то "съехала".
давно
Вадим Исаев ака sir Henry
Мастер-Эксперт
425
4118
26.03.2011, 21:00
общий
У Вас разница во времени подачи ответа не превышает 30 минут, так что повтором не считается. Может его просто поправить?
Об авторе:
Я только в одном глубоко убеждён - не надо иметь убеждений! :)
Неизвестный
26.03.2011, 21:14
общий
Адресаты:
Если не сложно замените, пожалуйста, последнюю строчку. И еще я не нашел в BBCode как использовать символ (~ - эквивалентность) при x->0 ln(1+x) ~ x. Спасибо.
давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
27.03.2011, 00:38
общий
Действительно, в формулах нет значка ~
Но, эквиваленцию можно показать по-другому, например, так:

или
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Неизвестный
27.03.2011, 12:52
общий
Непонятно к чему в Вашей записи относится логарифм - к числителю (1+x), или ко всей дроби (1+x)/(6x)? Если ко всей дроби, то эквивалентностью пользоваться нельзя.
Условия задач, конечно, заданы не совсем понятно. Сам автор должен еще их уточнить, а он не выходит в мини-форум.
С уважением
Неизвестный
27.03.2011, 13:10
общий
Здравствуйте, конечно Вы абсолютно правы по-поводу эквивалентности, но во втором моем действии разъясняется что ln(1+x)~x, а что касается дроби, то логарифм относится только к числителю, можно записать так ln(1+x)/(6x).
Неизвестный
27.03.2011, 13:13
общий
Я тоже так понял условие. Посмотрим, что напишет автор.
С уважением
давно
Aleksandrkib
Посетитель
317729
109
27.03.2011, 15:21
общий
Здравствуйте. Натуральный логарифм относится к числителю (1+х). Спасибо большое, с решением разобрался. Сам пытался использовать второй замечательный предел. Про эквивалентности как-то позабыл. Оказывается, всё намного проще. Считаю, данный вопрос можно теперь закрыть.
Форма ответа