Здравствуйте, Aleksandrkib!

Рассмотрим первое уравнение. Положим y' = p. Тогда y" = p', y'" = p", и заданное уравнение принимает вид
p" + 2p' + p = (18x + 21)e^2x. (1)

Решим уравнение (1). Рассмотрим сначала уравнение
p" + 2p' + p = 0. (2)
Характеристическим уравнением этого уравнения является
k² + 2k + 1 = 0, (3)
или
(k + 1)² = 0.
Следовательно, k₁ = k₂ = -1,
а общее решение уравнения (2) имеет вид
p_oo = e^-x(C₁ + C₂x). (4)

Правая часть исходного уравнения имеет вид f(x) = P₁(x)e^kx, где P₁(x) = 18x + 21 - многочлен первой степени, а
k = 2 не является корнем характеристического уравнения (3). Значит, частное решение уравнения (1) ищем в виде
p_ч = (Ax + B)e^2x. Для определения коэффициентов A и B находим
(p_ч)' = Ae^2x + 2(Ax + B)e^2x = (A + 2Ax + 2B)e^2x,
(p_ч)" = 2Ae^2x + 2(A + 2Ax + 2B)e^2x = (4A + 4Ax + 4B)e^2x
и подставляем в уравнение (1):
(4A + 4Ax + 4B)e^2x + 2(A + 2Ax + 2B)e^2x + (Ax + B)e^2x = (18x + 21)e^2x,
откуда находим
9Ax + 6A + 9B = 18x + 21,
9A = 18, A = 2,
6A + 9B = 21, 9B = 21 - 6A = 21 - 6 ∙ 2 = 9, B = 1.
Тогда
p_ч = (2x + 1)e^2x,
а общее решение уравнения (1) имеет вид
p = p_oo + p_ч = e^-x(C₁ + C₂x) + (2x + 1)e^2x. (5)

Интегрируя выражение (5), найдём общее решение исходного уравнения.

Используем интегрирование по частям. Постоянные интегрирования опускаем. Имеем

∫xe^axdx = (u = x, du = dx, dv = e^axdx, v = ∫e^axdx = 1/a ∙ ∫e^axd(ax) =
= 1/a ∙ e^ax) = 1/a ∙ xe^ax - 1/a ∙ ∫e^axdx = 1/a ∙ xe^ax - 1/a² ∙ e^ax.

При a = -1 получаем
∫xe^-xdx = -xe^-x - e^-x = -(x + 1)e^-x.

При a = 2 получаем
∫xe^2xdx = 1/2 ∙ xe^2x - 1/4 ∙ e^2x = 1/4 ∙ (2x - 1)e^2x.

Кроме того,
∫e^2xdx = 1/2 ∙ e^2x,
∫e^-xdx = -e^-x.

Поэтому
y = ∫(e^-x(C₁ + C₂x) + (2x + 1)e^2x)dx =
= С₁∫e^-xdx + C₂∫xe^-xdx + 2∫xe^2xdx + ∫e^2xdx =
= -C₁e^-x - C₂(x + 1)e^-x + 1/2 ∙ (2x - 1)e^2x + 1/2 ∙ e^2x + C₃ =
= -(C₁+C₂(x + 1))e^-x + xe^2x + C₃.

Ответ: y = -(C[sub]1[/sub]+C[sub]2[/sub](x + 1))e[sup]-x[/sup] + xe[sup]2x[/sup] + C[sub]3[/sub].

С уважением.

Здравствуйте, Aleksandrkib!
Рассмотрим второе уравнение. Общее решение его состоит из суммы общего решения однородного уравнения y'''+y''-y'-y=0, и частного решения неоднородного (исходного) уравнения.
Для нахождения общего решения однородного уравнения запишем характеристическое уравнение: r³+r²-r-1=0. Его решение находится легко, если сгруппировать члены: r²(r+1)-(r+1)=0 -> (r+1)²(r-1)=0. Отсюда видно, что имеется один двукратный корень r=-1 и простой корень r=1. Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:
y_o=(C₁x+C₂)e^-x+C₃e^x.
Так как функция e^x является решением однородного уравнения, то частное решение исходного уравнения ищем в виде:
y_n=(Ax²+Bx)e^x. Находим производные
y_n'=(2Ax+B)e^x+e^x(Ax²+Bx)=e^x(Ax²+(B+2A)x+B);
y_n''=(2Ax+B+2A)e^x+e^x(Ax²+(B+2A)x+B)=e^x(Ax²+(B+4A)x+2B+2A);
y_n'''=(2Ax+B+4A)e^x+e^x(Ax²+(B+4A)x+2B+2A)=e^x(Ax²+(B+6A)x+3B+6A).
Подставляя все это в уравнение и приводя подобные члены, получим
8Ax+(4B+8A)=8x+4, откуда сразу находим A=1, 4B+8A=4 -> B=-1.
Теперь получим частное решение в виде: y_n=(x²-x)e^x.
Общее решение y уравнения будет равно сумме:
y=y_o+y_n=(C₁x+C₂)e^-x+C₃e^x+(x²-x)e^x.
Ответ: y=(C[sub]1[/sub]x+C[sub]2[/sub])e[sup]-x[/sup]+(x[sup]2[/sup]-x+C[sub]3[/sub])e[sup]x[/sup].