Здравствуйте, Посетитель - 347014!
1)
В данном случае проекции силы на оси координат зависят исключительно от соответствующей координаты, поэтому могут рассматриваться независимо. Пусть движение происходит в плоскости xOy - соответственно изменяются только 2 координаты.
Дифференциальные уравнения колебаний выглядят так:
d
2x/dt
2=-kx/m
d
2y/dt
2=-ky/m
Как известно, в общем виде решение подобных уравнений выглядит так:
x=x
max[$183$]sin([$969$]
0t+[$966$]
0 x)
y=y
max[$183$]sin([$969$]
0t+[$966$]
0 y)
при этом частота колебаний [$969$]
0=[$8730$](k/m), поскольку
d
2x/dt
2=d
2(x
max[$183$]sin([$969$]
0t+[$966$]
0 x))/dt
2=
=d([$969$]
0x
max[$183$]cos([$969$]
0t+[$966$]
0 x))/dt=
=-[$969$]
02x
max[$183$]sin([$969$]
0t+[$966$]
0 x))=-[$969$]
02x=-kx/m
Таким образом, складываются 2 перпендикулярных колебания с равными частотами - результатом сложения является эллипс (частный случай при равных/противоположных начальных фазах - отрезок прямой). Начало отсчёта находится в центре эллипса.
Пусть теперь оси координат расположены так, что большая ось эллипса совпадает с одной осью координат, а малая - с другой.
Тогда (примем, что в момент t=0 частица находится на оси x) уравнения движения принимают вид
x=x
max[$183$]cos([$969$]
0t)
y=y
max[$183$]sin([$969$]
0t)
Тогда момент импульса
L=x[$183$]v
y-y[$183$]v
x=x
max[$183$]cos([$969$]
0t)[$183$][$969$]
0y
max[$183$]cos([$969$]
0t)+y
max[$183$]sin([$969$]
0t)[$183$][$969$]
0x
max[$183$]sin([$969$]
0t)=
=[$969$]
0x
maxy
max[$183$](sin
2([$969$]
0t)+cos
2([$969$]
0t))=[$969$]
0x
maxy
maxПлощадь эллипса равна
S=[$960$]x
maxy
max=[$960$]L/[$969$]
0Выражаем кинетическую и потенциальную энергию
W
k=m[$183$](v
x2+v
y2)/2=m[$969$]
02(x
max2sin
2([$969$]
0t)+y
max2cos
2([$969$]
0t))/2=
=k(x
max2sin
2([$969$]
0t)+y
max2cos
2([$969$]
0t))/2
W
p=k(x
2+y
2)/2=k(x
max2cos
2([$969$]
0t)+y
max2sin
2([$969$]
0t))/2
W
p/W
k=(x
max2cos
2([$969$]
0t)+y
max2sin
2([$969$]
0t))/(x
max2sin
2([$969$]
0t)+y
max2cos
2([$969$]
0t))
2) Чтобы эффект от столкновения был таким же, требуется чтобы в движущейся системе отсчёта, связанной с центром масс обоих протонов, оба протона имели энергию K=10 ГэВ.
Кинетическая энергия рассчитывается по формуле K=m
0c
2(1/[$8730$](1-v
2/c
2)-1)
Выражаем отсюда v
2/c
2=1-(m
0c
2/(K+m
0c
2))
2Таким образом имеем систему отсчёта, движущуюся со скоростью v, в которой протон движется с той же скоростью v в том же направлении
Найдём скорость протона в неподвижной системе отсчёта по формуле сложения скоростей
v'=(v+v)/(1+v[$183$]v/c
2)=2v/(1+v
2/c
2)=2v/(2-(m
0c
2/(K+m
0c
2))
2)
учитывая, что m
0c
2=0,938 ГэВ, рассчитываем энергию
K'=253 ГэВ
Проблема в том, что движущийся на околосветовой скорости протон обладает огромным импульсом - при столкновении импульс сохраняется, поэтому значительная часть энергии переходит в кинетическую энергию продуктов, обусловленную импульсом. (для сравнения: в нерелятивистском случае K'/K=4, а при K=m
0c
2 получаем K'/K=6; в данном же случае получили K'/K=25,3)