Консультации Портала - Консультация #177586

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 177586

01.04.2010, 02:31

0.00 руб.

02.04.2010, 14:03

0 3 1

Образование

Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу:
Решить СЛАУ итерационными методами, приняв везде и взяв число итерации :
а) методом Зейделя;
б) методом итераций с чебышевским набором параметров;
в) методом минимальных невязок;
г) методом наискорейшего спуска.
Все промежуточные вычисления проводить с точностью до трех знаков после запятой (если округление дает ноль, то учитывать первую значащую цифру), а ответы округлить до двух знаков после запятой.
2x+y=-3,
x+2y=-3.
Приняв везде x₀=y₀=1 и взяв число итерации n=3

Обсуждение

давно

Киселев Виталий Сергеевич

Академик
324866
619

01.04.2010, 09:59

общий

Чаркин Иван Александрович:
Не уверен что именно вам нужно. Как вариант

Код:

Рекурентная формула Зейделя в координатной форме:
 x1(k+1) = 0.800 * x1(k) + -0.100 * x2(k) + -0.300
 x2(k+1) = -0.100 * x1(k+1) + 0.800 * x2(k) + -0.300
 Проверим достаточное условие сходимости итерационной последовательности
 |0.800| + |-0.100| = 0.900 < 1
 |-0.100| + |0.800| = 0.900 < 1
 q = 0.900
 Начальное приближение: X0 = (-0.300, -0.300)T
 Итерация 1
 x1(1) = 0.800 * x1(0) + -0.100 * x2(0) + -0.300 = -0.240 + 0.030 + -0.300 = -0.510
 x2(1) = -0.100 * x1(1) + 0.800 * x2(0) + -0.300 = 0.051 + -0.240 + -0.300 = -0.489
 q/(1-q) = 0.900 / (1 - 0.900) = 9.000
 E1 = q/(1-q)*max(0.210,0.189) = 9.000 * 0.189 = 1.701
 Итерация 2
 x1(2) = 0.800 * x1(1) + -0.100 * x2(1) + -0.300 = -0.408 + 0.049 + -0.300 = -0.659
 x2(2) = -0.100 * x1(2) + 0.800 * x2(1) + -0.300 = 0.066 + -0.391 + -0.300 = -0.625
 E2 = q/(1-q)*max(0.149,0.136) = 9.000 * 0.136 = 1.227
 Итерация 3
 x1(3) = 0.800 * x1(2) + -0.100 * x2(2) + -0.300 = -0.527 + 0.063 + -0.300 = -0.765
 x2(3) = -0.100 * x1(3) + 0.800 * x2(2) + -0.300 = 0.076 + -0.500 + -0.300 = -0.724
 E3 = q/(1-q)*max(0.106,0.098) = 9.000 * 0.098 = 0.886
 Итерация 4
 x1(4) = 0.800 * x1(3) + -0.100 * x2(3) + -0.300 = -0.612 + 0.072 + -0.300 = -0.839
 x2(4) = -0.100 * x1(4) + 0.800 * x2(3) + -0.300 = 0.084 + -0.579 + -0.300 = -0.795
 E4 = q/(1-q)*max(0.075,0.071) = 9.000 * 0.071 = 0.642
 Итерация 5
 x1(5) = 0.800 * x1(4) + -0.100 * x2(4) + -0.300 = -0.672 + 0.080 + -0.300 = -0.892
 x2(5) = -0.100 * x1(5) + 0.800 * x2(4) + -0.300 = 0.089 + -0.636 + -0.300 = -0.847
 E5 = q/(1-q)*max(0.053,0.052) = 9.000 * 0.052 = 0.466
 Итерация 6
 x1(6) = 0.800 * x1(5) + -0.100 * x2(5) + -0.300 = -0.714 + 0.085 + -0.300 = -0.929
 x2(6) = -0.100 * x1(6) + 0.800 * x2(5) + -0.300 = 0.093 + -0.677 + -0.300 = -0.885
 E6 = q/(1-q)*max(0.037,0.038) = 9.000 * 0.038 = 0.340
 Итерация 7
 x1(7) = 0.800 * x1(6) + -0.100 * x2(6) + -0.300 = -0.743 + 0.088 + -0.300 = -0.955
 x2(7) = -0.100 * x1(7) + 0.800 * x2(6) + -0.300 = 0.095 + -0.708 + -0.300 = -0.912
 E7 = q/(1-q)*max(0.026,0.028) = 9.000 * 0.028 = 0.249
 Итерация 8
 x1(8) = 0.800 * x1(7) + -0.100 * x2(7) + -0.300 = -0.764 + 0.091 + -0.300 = -0.973
 x2(8) = -0.100 * x1(8) + 0.800 * x2(7) + -0.300 = 0.097 + -0.730 + -0.300 = -0.933
 E8 = q/(1-q)*max(0.018,0.020) = 9.000 * 0.020 = 0.183
 Итерация 9
 x1(9) = 0.800 * x1(8) + -0.100 * x2(8) + -0.300 = -0.778 + 0.093 + -0.300 = -0.985
 x2(9) = -0.100 * x1(9) + 0.800 * x2(8) + -0.300 = 0.098 + -0.746 + -0.300 = -0.948
 E9 = q/(1-q)*max(0.012,0.015) = 9.000 * 0.015 = 0.135
 Итерация 10
 x1(10) = 0.800 * x1(9) + -0.100 * x2(9) + -0.300 = -0.788 + 0.095 + -0.300 = -0.993
 x2(10) = -0.100 * x1(10) + 0.800 * x2(9) + -0.300 = 0.099 + -0.758 + -0.300 = -0.959
 E10 = q/(1-q)*max(0.008,0.011) = 9.000 * 0.011 = 0.101
 Итерация 11
 x1(11) = 0.800 * x1(10) + -0.100 * x2(10) + -0.300 = -0.794 + 0.096 + -0.300 = -0.999
 x2(11) = -0.100 * x1(11) + 0.800 * x2(10) + -0.300 = 0.100 + -0.767 + -0.300 = -0.967
 E11 = q/(1-q)*max(0.006,0.008) = 9.000 * 0.008 = 0.076
 Итерация 12
 x1(12) = 0.800 * x1(11) + -0.100 * x2(11) + -0.300 = -0.799 + 0.097 + -0.300 = -1.002
 x2(12) = -0.100 * x1(12) + 0.800 * x2(11) + -0.300 = 0.100 + -0.774 + -0.300 = -0.973
 E12 = q/(1-q)*max(0.004,0.006) = 9.000 * 0.006 = 0.057
 Итерация 13
 x1(13) = 0.800 * x1(12) + -0.100 * x2(12) + -0.300 = -0.802 + 0.097 + -0.300 = -1.004
 x2(13) = -0.100 * x1(13) + 0.800 * x2(12) + -0.300 = 0.100 + -0.779 + -0.300 = -0.978
 E13 = q/(1-q)*max(0.002,0.005) = 9.000 * 0.005 = 0.044
 E13 <= e
 Ответ: X = (-1.004, -0.978)T
 Проверка
 0.200 * -1.004 + 0.100 * -0.978 = -0.201 + -0.098 = -0.299
 0.100 * -1.004 + 0.200 * -0.978 = -0.100 + -0.196 = -0.296

Неизвестный

01.04.2010, 21:22

общий

это ответ

Здравствуйте, Чаркин Иван Александрович.

|2*x+y=-3
|x+2*y=-3

Точное решение: x=y=-1

Для метода Зейделя преобразуем систему
|x=-3/2-y/2
|y=-3/2-x/2
x₀=y₀=0
x₁=y₁=-3/2=-1.5
x₂=y₂=-3/2+3/4=-3/4=-0.75
x₃=y₃=-1.5-(-0.375)=-1.125
x₄=y₄=-1.5-(-0.562)=-0.938
x₅=y₅=-1.5-(-0.469)=-1.031
x₆=y₆=-1.5-(-0.5155)=-0.9845
x₇=y₇=-1.5-(-0.492)=-1.008
x₈=y₈=-1.5-(-0.504)=-0.996
x₉=y₉=-1.5-(-0.498)=-1.002
x₁₀=y₁₀=-1.5-(-0.501)=-0.999
x₁₁=y₁₁=-1.5-(-0.4995)=-1.0005
x₁₂=y₁₂=-1.5-(-0.5)=-1
x₁₃=y₁₃=-1.5-(-0.5)=-1

Ответ: x=y=-1

Определим чебышевский набор параметров

|2 1|
|1 2| - матрица A
найдем собственные значения

(2-[$955$])*(2-[$955$])+1*1=0
[$955$]²-4*[$955$]+3=0
[$955$]=1 и [$955$]=3
t₀=2/(1+3)=1/2
[$961$]=(3-1)/(3+1)=1/2
t_k=t₀/(1+[$961$]*cos((2*k-1)*Pi/(2*n)))

t₁=0.339
t₂=0.386
t₃=0.5
t₄=0.708
t₅=0.953

x₀=y₀=0
x₁=y₁=0-t₁*3=-1.017
x₂=y₂=-1.017-0.386*(-3.051+3)=-0.997
x₃=y₃=-0.997-0.386*(-2.992+3)=-1
x₄=y₄=-1-0.5*(-3+3)=-1
x₅=y₅=-1-0.708*(-3+3)=-1
решение достигнуто

Метод минимальных невязок

x₀=y₀=0
[$916$]₁=(-3-0,-3-0)=(-3,-3)
t₁=-(A*[$916$]₁,[$916$]₁)/(A*[$916$]₁,A*[$916$]₁)=-54/162=-0.333
x₁=x₀-(-3)*(-0.333)=-0.999=y₁
[$916$]₂=(-0.001,-0.001)
t₂=-0.333
x₂=y₂=-0.999-(-0.333)*(-0.001)=-0.999
при точности 0,001 результат меняться не будет

Метод наискорейшего спуска

b=(-3,-3)
x₀=y₀=0
[$961$]₀=A*(x₀,y₀)-b=(3,3)
t₀=([$961$]₀,[$961$]₀)/(a*[$961$]₀,[$961$]₀)=18/54=0.333
x₁=y₁=0-0.333*(3)=-0.999
r₁=A*(-0.999,-0.999)-b=(0.003,0.003)
t₁=0.333
x₂=y₂=-0.999-0.333*(-0.001)=-0.999
при точности 0,001 результат меняться не будет

Неизвестный

02.04.2010, 13:47

общий

Не дописал в условии : приняв везде x₀=y₀=1 и взяв число итерации n=3

Форма ответа

Отправка постов/ответов доступна только зарегистрированным и подтвержденным пользователям.

Если Вы уже зарегистрированы на Портале - войдите в систему, если Вы еще не регистрировались - пройдите простую процедуру регистрации.