Здравствуйте, Azarov88.

С помощью преобразования Лапласа дифференциальное уравнение может решаться как полиномиальное.

x⁽ⁿ⁾+a₁*x^(n-1)+...+a_n-1*x'+a_n*x=f(t)

Для функции x(t) (оригинал) находится функция X(p)(избражение), удовлетворяющая:

pⁿ*X(p) - p^n-1*x(0)-p^n-2*x'(0)-...-p*x^(n-2)(0)-x^(n-1)(0)+a₁*(p^n-1*X(p) - p^n-2*x(0)-p^n-3*x'(0)-...-x^(n-2)(0))+...+a_n-1*(p*X(p)-x(0))+a_n*X(p)=F(p)

Изображение F(p) находится по таблицам , для f(t)=(1/2) * t² * e^t F(p)=1/(p-1)³
Нулевые начальные условия - x(0)=0, x'(0)=0 и x''(0)=0
получим
p³*X(p)+X(p)=F(p)
X(p)=1/((p-1)³)*(p³+1))
Надо представить X(p) в виде суммы более простых дробных выражений изображений, для которых известны оригиналы
X(p)=-3/(4*(p-1)²)+1/(2*(p-1)³)-1/(24*(p+1))+(1/3)*(-p+2)/(p²-p+1)+3/(8*(p-1))
(-p+2)/(p²-p+1)=[$8730$]3*([$8730$]3/2)/((p-1/2)²+([$8730$]3/2)²))-(p-1/2)/((p-1/2)²+([$8730$]3/2)²))

Получим
x(t)=-(1/24)*e^-t+(1/8)*e^t*(2*t²+3-6*t)+(1/3)*e^t/2*([$8730$]3*sin([$8730$]3*t/2)-cos([$8730$]3*t/2))

Эту задачу можно решить в Maple
>ode := ((D@@3)(x))(t)+x = (1/2)*t^2*exp(t)
>dsolve({ode, x(0) = 0, (D(x))(0) = 0, ((D@@2)(x))(0) = 0}, x(t), method = laplace)

разложение
>f := 1/((p-1)^3*(p^3+1))
>convert(f, parfrac, p)