Здравствуйте, Чаркин Иван Александрович.

1. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

4y''-5y'+y=0

Составляем характеристическое уравнение: y''->k^2, y'->k, y->1

4*(k^2) - 5*k + 1 = 0

k = (5 [$177$] sqrt(5^2 - 4*4*1))/(2*4) = (5 [$177$] 3)/8

k1=1/4, k2=1

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения:

y(x) = C1*exp(x/4) + C2*exp(x), где С1, С2 - константы

2. Находим частное решение неоднородного уравнения:

4y'' - 5y' + y = exp(x)*sin(3x)

Так как числа m=1[$177$]3*i (где i - мнимая единица) не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем ввиде:

y(x) = exp(x)*[A*sin(3x) + B*cos(3x)], где А, В - неизвестные константы

Тогда

y' = exp(x)*[(A - 3B)*sin(3x) + (B + 3A)*cos(3x)]

y'' = exp(x)*[(- 8A - 6B)*sin(3x) + (6A - 8B)*cos(3x)]

4y'' - 5y' + y = exp(x)*[{4*(- 8A - 6B) - 5*(A - 3B) + A}*sin(3x) + {4*(6A - 8B) - 5*(B + 3A) + B}*cos(3x)] =

= exp(x)*[{- 36A - 9B}*sin(3x) + {9A - 36B}*cos(3x)] [$8801$] exp(x)*sin(3x)

Получим систему уравнений:
{- 36A - 9B = 1
{9A - 36B = 0

{A = - 4/153
{B = - 1/153

Тогда частное решение неоднородного уравнения:

y(x) = - (1/153)*exp(x)*[4*sin(3x) + cos(3x)]

3. Общее решение исходного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y(x) = C1*exp(x/4) + C2*exp(x) - (1/153)*exp(x)*[4*sin(3x) + cos(3x)]
где С1, С2 - константы