Здравствуйте, Чаркин Иван Александрович.
Если разделить уравнение на x, то получится однородное уравнение:

y'=[y - x*exp(y/x)]/x, здесь запись exp(y/x) означает: число е в степени (y/x)

Чтобы доказать вводим функцию:

f(x, y) = y' = [y - x*exp(y/x)]/x

Тогда:

f(k*x, k*y) = [k*y - k*x*exp({k*y}/{k*x})]/(k*x) = [y - x*exp(y/x)]/x = f(x, y), k - константа

отсюда следует, что функция f(x, y) = y' однородная, следовательно, диф. уравнение однородное

Тогда пусть y(x)=x*u(x)

y' = (x*u(x))' = x*u'(x) + u(x)

[y - x*exp(y/x)]/x = [x*u - x*exp((x*u)/x)]/x = u - exp(u)

-> x*u' + u = u - exp(u)

x*u' = - exp(u)

x*(du/dx) = - exp(u) /*exp(-u)

exp(-u)*du = - dx/x

Интегрируем

Iexp(-u)*du = - Idx/x

- exp(-u) + C1 = - ln(x) + C2, где С1, С2 - константы

exp(-u) = lnC + ln(x) = ln(C*x), где lnC=C1-C2 - тоже константа

-u = ln(ln(C*x))

Так как u=y/x, то

- (y/x) = ln(ln(C*x))

y = - x*ln(ln(C*x))

это и есть решение, то есть общее решение диф. уравнения