Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 107430
30.10.2007, 21:37
0.00 руб.
0 3 3
Образование
Здраствуйте!
Особая благодарноть Агапову Марселю за ответы, пускай не всгда точные с технической точки зрения, но судя по всему, только он может реально помочь с любой задачей.... Тянитесь к нему как трава к солнцу...
Ну а теперь... задачи.
I. В линейном пространстве солбцов высотой 4 даны элементы:
y1 = (1 1 2 1) y2 = (1 -1 0 1) y3=(0 0 -1 1) y4= (1 2 2 0)
x = (1 1 1 1)
(Все элоементы располагаются в столбцы, просто я их в строчку написал).
а) показать что элементы у1, у2, у3, у4 образуют базис в пространстве (т.е. их линейную незвисимость)
б) найти координаты элемента х в базисе у1, у2, у3, у4 (т.е. выразить)
II. В линеном пространстве столбцов выстой 3 даны 2 базиса:
Е1 = (0 1 1) Е2 = (1 0 1) Е3 = (1 1 0)
F1 = (1 2 3) F2= (2 1 2) F3 = (0 2 1)
Найти
1. Матрицу перехода Е к базису F
2. Матрицу обратного перехода
3. Координаты F1 в обоих базисах
4. Координаты E3 в обоих базисах
5. Координаты y в базисе E, имеющего в базисе f координаты (2 3 -1)
III
В пространстве многочеленов степени меньше либо равной 2 даны два базиса
E1 = 1, E2 = x. E3 = x^2
F1 = 1, F2 = x+1, F3 = (x=1)^2
Найти матрицы перхода E->F, F->E

Спасибо, что дочитали до конца.
Можете присылать мне ответы на мыло (nejew@mal.ru) , а отписываться в форме ответ, чтоб я смог оценить Вашу неоценимую помощь....
Любой способ помощи приветсствуется( вплоте до плотного общения в Агенте)
Спасибо!!!!!

Обсуждение

Неизвестный
31.10.2007, 03:55
общий
это ответ
Здравствуйте, Newjew!
1) Составим матрицу из векторов y1, y2, y3, y4 и посчитаем ее дискриминант.
|1 1 2 1|
|1 -1 0 1|
|0 0 -1 1|
|1 2 2 0|
Получим дискриминант = -4 не равен 0 => эти векторы линейно независимы, и могут являться базисом.
Выразим вектор х через этот базис. То есть найдем числа a,b,c,d, что x = (1 1 1 1) = a(1 1 2 1) + b(1 -1 0 1) + c(0 0 -1 1) + d(1 2 2 0) = (a+b+d,a-b+2d,2a-c+2d,a+b+c)
То есть получаем систему 4 уравнений с 4 неизвестными
a+b+d = 1
a-b+2d = 1
2a-c+2d = 1
a+b+c = 1
Решаем, находим а = b = 1/4, c = d= 1/2
Итак, x = 0,25*y1 +0,25*y2 + 0,5*y3 + 0,5*y4

Неизвестный
31.10.2007, 21:40
общий
это ответ
Здравствуйте, Newjew!
II.
Матрица Е имеет вид
(0 1 1)
(1 0 1)
(1 1 0)

Матрица F имеет вид
(1 2 0)
(2 1 2)
(3 2 1)

1.
Матрица A перехода от E к F должна удовлетворять уравнению
A*E = F
A = F*E<sup>-1</sup>.

Вычислив E<sup>-1</sup> =
(-1/2 1/2 1/2)
(1/2 -1/2 1/2)
(1/2 1/2 -1/2)
получим, что A =
(1/2 -1/2 3/2)
(1/2 3/2 1/2)
(0 1 2)

2.
Матрица B перехода от F к E — обратная к матрице перехода от E к F.
B = A<sup>-1</sup> =
(1 1 -1)
(-2/5 2/5 1/5)
(1/5 -1/5 2/5)

3.
F1 в базисе F имеет координаты (1;0;0) (т.к. входит в этот базис).
Чтобы получить координаты в базисе E, умножим матрицу B перехода от F к E на F-координаты этого вектора:
(1 1 -1)
(-2/5 2/5 1/5)
(1/5 -1/5 2/5)
умножим на вектор-столбец
(1)
(0)
(0)
и получим
(1)
(-2/5)
(1/5).
Значит, в базисе E вектор F1 имеет координаты (1;-2/5;1/5). Видим, что они совпадают с элементами первого столбца матрицы B.

4.
Координаты E3 в базисе E такие: (0;0;1). Вычислим его F-координаты:
(1/2 -1/2 3/2)
(1/2 3/2 1/2)
(0 1 2)
умножим на
(0)
(0)
(1)
и получим
(3/2)
(1/2)
(2).
В базисе F вектор E3 имеет координаты (3/2;1/2;2).

5.
y(2;3;-1).
Умножим матрицу B перехода от F к E на этот вектор и получим его E-координаты: (6;1/5;-3/5).
Неизвестный
01.11.2007, 10:34
общий
это ответ
Здравствуйте, Newjew!

Задача 3:
По аналогии с решением задачи 2:
матрица E:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
матрица F:
1 0 0
1 1 0
1 2 1
матрица A перехода от E к F:
A = F*E^(-1)
1 0 0
1 1 0
1 2 1
матрица B перехода от F к E:
B = A^(-1)
1 0 0
-1 1 0
1 -2 1
Форма ответа