Воспользуемся признаком Даламбера: для степенного ряда
радиус сходимости определяется выражением
то есть ряд сходится при
|x-x[sub]0[/sub]| < R, расходится при
|x-x[sub]0[/sub]| > R, при
|x-x[sub]0[/sub]| = R ряд может как сходиться, так и расходиться.
В данном случае
и
Отсюда
|x+4|<3, то есть ряд сходится при
-7<x<-1. Исследуем сходимость ряда на границе. При
x = -1 имеем ряд
который, очевидно, расходится, так как степенной ряд вида
расходится при всех
a[$8804$]1. При
x = -7 имеем знакочередующийся ряд
который является сходящимся по признаку Лейбница (последовательность его членов монотонно убывает и стремится к нулю). Следовательно, исходный ряд сходится на полуинтервале
[-7, 1).