Здравствуйте, ushatalal!
Пусть требуется решить дифференциальное уравнение
Соответствующим однородным уравнением будет
Его характеристическое уравнение
или
имеет корни
(кратности
) и
Поэтому
-- общее решение заданного уравнения.
Правая часть заданного уравнения имеет вид
При этом
-- корень рассмотренного выше характеристического уравнения. Поэтому частное решение заданного уравнения определим так:
Тогда
Подставив полученные выражения для
и её производных, получим
Значит,
-- частное решение заданного уравнения.
Окончательно получим, что
-- общее решение заданного уравнения.
Об авторе:
Facta loquuntur.