Из второго уравнения

(*)

Тогда

Подставим в первое уравнение выражения для и :









Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение:





Так как характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение уравнения имеет вид





Подставим полученные выражения для и в (*):






Ответ:

Или так

Это однородная система линейных дифференциальных уравнений второго порядка (в смысле система второго порядка, т.к. две переменные, два уравнения).

В общем случае она решается матричным методом, а именно:

Ее вид dX/dt = A*X, где большими буквами обозначен вектор или матрица.

В нашем случае X= [x y]^T, т.е. столбец из x и y, а матрица A равна

8 -3
2 1

Решение ищут в виде X=B*exp([$955$]*t), где B - вектор (столбец), решая характеристическое уравнение

det (A-E*[$955$]*t) = 0, где E - единичная матрица, а det(..) - детерминант.

То есть в нашем случае находим детерминант для матрицы (назовем ее D)

(8-[$955$]) -3
2 (1-[$955$])

т.е. det (D)=0

отсюда, расписывая детерминант через элементы матрицы, получаем уравнение

(8-[$955$])*(1-[$955$]) - (-3)*2 =0 или ([$955$] - 8)*([$955$] - 1) +6 =0

Получаем квадратное уравнение: [$955$]² -9*[$955$] +14=0

Его корни [$955$]=2 и [$955$]=7

Для каждого [$955$] находим соответствующий вектор (столбец), подставляя соответствующее значение [$955$] в матрицу D, умножая на нее наш искомый столбец и приравнивая результат умножения матрицы на столбец к нулю.

Для [$955$]=2 матрица D примет вид

(8-2) -3
2 (1-2)

или

6 -3
2 -1

Если умножить на столбец (x y)^Т справа, то получаем

6*x - 3*y =0
2*x - y =0

Значит, можно выбрать, например, x =1, y=2. Тогда для него общее решение будет C1*[1 2]^T*exp(2*t), где C1 - произвольная константа.

Для [$955$]=7 матрица D примет вид

(8-7) -3
2 (1-7)

или

1 -3
2 -6

x -3*y=0
2*x -6*y=0

Можно выбрать x = 3, y=1. Для него общее решение будет C2*[3 1]^T*exp(7*t), где C2 - произвольная константа.

Объединяя эти два решения, получаем общее решение задачи:

ОТВЕТ: [x y]^Т = C1*[1 2]^T*exp(2*t) + C2*[3 1]^T*exp(7*t), где C1. С2 - произвольные константы.

или для каждой переменной по отдельности:

x = C1*exp(2*t) + C2*3*exp(7*t)
y = C1*2*exp(2*t) + C2*exp(7*t), где C1. С2 - произвольные константы.