Здравствуйте, KoreanLamer!
Условие : Е1 = 1 В ; Е2 = 2 В ; E3 =3 В ; E4 = -4 В ; R1 = 4 Ом ; R2 = 3 Ом ; R3 = 2 Ом ; R4 = 1 Ом (я исправил Вашу описку R5 = 1 с ниже-обманом "напечатанные данные верные").
Вычислить разность потенциалов U21 и U31 .

Решение : Электро-схема задачи - очень лёгкая, потому что цепь НЕразветвлённая, узлов нет, единственный ток протекает ч-з все элементы, соединённые последовательно. И не было бы никакой трудности решать эту задачу, если бы не самодурство Ваших преподавателей : На схеме источник E4 показан анодом влево, а значение E4 - отрицательное - куда E4 "толкает" ток? Кому верить? Преподы искусственно запутывают мышление студентов противоречивыми выкрутасами, вместо того, чтобы развивать творческие навыки решения технических проблем.

В минифоруме Вы приложили "Преподаватель скинул методичку решения, может быть вам пригодиться ?" … "перед Еi ставиться знак + если при обходе контура цепи внутри источника от - полюса к +" - такое учение от СНГ-мин-образования мне НЕ пригодится, потому что мне очень повезло изучать электронику в таганрогском радио-институте. И хотя во времена СССР было много недостатков (идиотский дефицит, ограничивающий "железный занавес"…), наши преподаватели с Б производственным опытом были нашими старшими товарищами - наставниками. Они советовали нам не пользовать отупляющие методы и учебники от МинОбразования, которые до сих пор рекомендуют чертить обход ветвей по часовой стрелке и работать с абстрактными токами неизвестного направления. Выпускник ТРТИ должен сразу получить направление РЕАЛЬНОГО тока и работать с реальными данными, совершенствуя этим свои Опыт и Интуицию.

Я тысячи раз благодарил мысленно своих бывших преподавателей, когда в моей инженерной практике я первым видел куда течёт ток и оценивал его величину, пока мои коллеги путались в абстрактных контурных токах.

Чтоб применить быстрый и эффективный таганрогский опыт для решения Вашей задачи, надо перевернуть схемное расположение источника E4 , заменить его на E5 анодом вправо с положительным значением +4 В . И тогда можно легко решить естесственую задачу. Но Вы предупредили "зная моего преподавателя он потребует решить именно с E4". Главная трудность стала в том, чтоб угадать этап, на котором можно прекратить придуряться (идти на поводу Ваших преподов) и стать самим собой, чтобы вычислить физические процессы в заданном узле.

Я предлагаю оформить самообман так : мы верим схеме, на которой источник E4 показан анодом (положительным выводом) влево. И делаем вид, будто не знаем, что его значение отрицательно. Начинаем решение как обычно, а в конце, после решения уравнений, подставим отрицательное значение в E4 .

В первую очередь пытаемся угадать реальное направление тока (как учат в Таганроге, а не задаём бессмысленно "по часовой стрелке" или "против"). Для этого сопоставляем величины и направления полярности всех источников. Мы видим, что в нашей схеме все источники "дружно толкают" ток в направлении по часовой стрелке цепи (о том, что E4 - обманщик или аккумулятор, испорченный перезарядом, мы пока якобы не знаем).

Вычисляем суммарную ЭДС : Es = E1 + E2 + E3 + E4 = 2 В .
Тут мы как бы обнаруживаем, что E4 убавил общую сумму своим "минус"-значением. Но к нашему счастью, E4 не смог изменить направление тока, заданное прочими источниками, и можно продолжать решение.

[size=1]Примечание : Если бы E4 инвертировал направление тока, тогда инженеры из Таганрога возвращаются назад и корректируют направление стрелок на схеме согласно реальности и положительным значениям. Надо работать в соответствии с Природой, тогда Опыт и Интуиция развиваются. А если тупо продолжать работать с абстрактными минусами, не вдаваясь в смысл, то опыт не прибавляется, зато сильно возрастает вероятность ошибки в ниже-проверке.[/size]

Остались мелочи: вычисляем суммарное сопротивление схемы Rs = 10 Ом, и получаем значение тока
I = Es / Rs = 0,2 А .

Для вычисления разности потенциалов между точками 2-1 и 3-1 удобно начертить векторы напряжений. Я начертил векторы синим цветом. Рисунок прилагаю.

Разность потенциалов м-ду точками 2 и 1 - это U21 = E2 - UR2 = 1,4 В . Тут UR2 = I·R2 - падение напряжения на резисторе R2 с направлением, противоположным направлению тока I .
Напряжение U31 = 4 В вычисляем аналогично по векторам.

Ответ : Разность потенциалов м-ду точками 2 и 1 равна +1,4 В ;
Разность потенциалов м-ду точками 3 и 1 равна +4 В .

Проверка методом Баланса мощностей сделана в приложении Маткад (ссылка) . Маткад работает быстро и избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Если что-то осталось непонятным, спрашивайте в минифоруме. =Удачи!