Здравствуйте, 450044gq!
Условие : Дана функция f(x) = (x+2)·[$8730$][(x+2)² - 8·x] / (x² - 4·|x-1|)
Требуется упростить это выражение для различных интервалов знако-постоянства.

Решение: Очень хорошо, что Вы, наконец предоставили "некоторое пояснение к задаче", тк вчера я показал Вам в минифоруме ошибочное решение. За полвека я успешно решал множество производственных задач и уравнений, я прочно уяснил, что после извлечения корней типа [$8730$]a = ±b надо учитывать и анализировать оба знака (плюс и минус) на их соответствие физическому смыслу. Сравнив Ваше пояснение со своим я несколько минут не мог понять, почему при переходе ч-з точку x=2 Ваш Ответ меняет знак? Я стал рыскать в интернете и увидел странное Правило, которое я раньше не знал почему-то:
[$8730$]a = |b| если a >= 0 и b² = a , потому что в процессе решения арифметических операций (не технических!) корень должен быть положительным числом! Я думал, что попал на сайт самодуров, поискал ещё - такой сговор существует!!

Определение : Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа a называется такое НЕотрицательное число, квадрат которого равен a . Главное! Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один НЕотрицательный результат (цитата из Ссылка )

Теперь Ваша задача решается просто, достаточно разложить всё по полочкам.
Первая полочка : Квадрат под радикалом [$8730$][(x+2)² - 8·x] - от радикалов стараемся избавиться в первую очередь!
Раскрываем скобки f(x) = (x+2)² - 8·x = x² + 4x + 4 - 8x = x² - 4x + 4 = (x-2)²
и расправляемся с радикалом как повар с картошкой: [$8730$][(x+2)² - 8·x] = [$8730$][(x - 2)²] = |x - 2|
Исходное выражение упростилось до
f(x) = (x+2)·|x-2| / (x² - 4·|x-1|)

Вторая полочка : досадные модули |x-2| и |x-1| . С ними проще, ибо всем известно школьное преобразование :
|x-2| = x - 2 при x >= 2 , однако |x-2| = 2 - x при x < 2 . Значит, задачу надо рассмотреть при разных значениях x , чтобы избавиться от операций модуля. У нас 2 модуля. Начнём с самого положительного:

Рассмотрим сначала область x >= 2 . В этой области |x-2| = x-2 , а |x-1| = x-1
Наша функция упростится до
f(x) = (x+2)·(x-2) / [x² - 4·(x-1)] = (x+2)·(x-2) / (x² - 4·x + 4) = (x+2)·(x-2) / (x-2)² = (x+2) / (x-2)
Однако, знаменатель дроби (x - 2) обращается в 0 при x = 2 , а делить на 0 нельзя. Значит, в точке x = 2 функция имеет разрыв второго рода. И мы должны сузить область определения, заменив x >= 2 на x > 2 .
То есть f(x) = (x+2) / (x-2) если x [$8712$] (2 ; [$8734$]) (- как в Вашем пояснении).

Далее рассмотрим интервал 1 <= x < 2 . В нём по-прежнему |x-1| = x-1 , но |x-2| = -(x-2) = 2 - x . Тогда
f(x) = (x+2)·(2 - x) / (x² - 4·(x-1)) = (x+2)·(2-x) / (x² - 4·x + 4) = (x+2)·(2-x) / (x-2)² = (x+2) / (2-x)
Тут x [$8712$] [1 ; 2) . Точка x=1 входит в этот полу-интервал, а разрывная x=2 - НЕ входит!

Остался интервал x < 1 , где |x-1| = -(x-1) = 1-x , и |x-2| = -(x-2) = 2 - x . В этой x-области наша функция упростится до
f(x) = (x+2)·(2 - x) / [x² - 4·(1 - x] = (2+x)·(2-x) / (x² + 4·x - 4) = (4 - x²) / (x² + 4·x - 4)
В дробях надо всегда искать "подводные камни", когда знаменатель обращается в нуль, на который делить нельзя.

Решаем уравнение x² + 4·x - 4 = 0 . И получаем x = -2 ± 2·[$8730$]2 . Это значит, из рассматриваемой ОДЗ (Области Допустимых Значений)
x = x [$8712$] (-[$8734$] ; 1) надо "выколоть" точки разрыва 2го рода x1 = -2 - 2·[$8730$]2 [$8776$] -4,83 и x2 = -2 + 2·[$8730$]2 [$8776$] 0,83

Таким образом, итоговый Ответ: упрощённая функция равна
f(x) = (4 - x²) / (x² + 4·x - 4) если x [$8712$] [-[$8734$] ; 1) и при этом x <> -2 ± 2·[$8730$]2 ;
f(x) = (x+2) / (2-x) если x [$8712$] [1 ; 2) ;
f(x) = (x+2) / (x-2) если x [$8712$] (2 ; +[$8734$]) .

График Вашей исходной функции прилагаю.

Я постарался объяснить всё подробно. Если у Вас что-то осталось непонятным, спрашивайте в минифоруме.
Полезная статья от профессионального репетитора по Вашей теме "Как упростить сложный радикал" Ссылка
=Удачи!