Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 199100
26.08.2020, 14:14
0.00 руб.
0 3 2
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях y(x_0 )=y_0.
yʹ+(2y/x)=x^(-2); x_0=3; y_0=1

Обсуждение

давно
Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт
259041
7459
27.08.2020, 15:16
общий
это ответ
Здравствуйте, tolmachieva.a!
Дано диф-уравнение y' + 2·y/x = x-2 и начальные условия x0 = 3 ; y0 = 1 .
Найти частное решение дифура.
Решение: Сутки прошли, эксперты-математики не показали нам классическое решение диф-уравнения, вероятно, они очень заняты сегодня.
Инженерам-разработчикам часто приходится решать дифуры. Как решать их, не имея "дифурных" навыков?
На странице Онлайн-решателя Ссылка1 вводим формулу Вашего уравнение и получаем первичное Общее решение в виде
y(x) = C / x2 + 1 / x , где C = некая константа.
Дифференцируем функцию y(x) получить её производную : y'(x) = -2·C / x3 - 1 / x2
Вольфрам-решатель иногда ошибается, поэтому проверяем результат подстановкой решения в исходную формулу:
y' + 2·y/x = (-2·C / x3 - 1 / x2) + (2/x)·(C/x2 + 1/x) возвращает нам нужное значение 1 / x2 - значит, общее решение верно!

Находим частное решение подстановкой значений x0 = 3 и y0 = 1 в уравнение y(x0) = C / x02 + 1 / x0
Получаем C = 6 .
Ответ : y(x) = 1/x + 6/x2
Вычисления и ГрафоПостроения я делаю в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad . Маткад работает быстро, очень точно и избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

Надеюсь, эксперты-математики увидят это проверенное решение и добавят второй Ответ с математическими выкладками.
давно
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Старший Модератор
312929
1973
27.08.2020, 20:54
общий
это ответ
Здравствуйте, tolmachieva.a!

Уравнение вида

где функции P(x), Q(x) известны, называется линейным уравнением первого порядка. Оно решается путём замены y(x) = u(x)v(x), преобразующей его к виду

или

Выбираем функцию v(x) так, чтобы выполнялось условие

Решая это однородное уравнение, получаем


Тогда функция u(x) будет решением уравнения

то есть

В данном случае P(x) = 2/x, Q(x) = 1/x[sup]2[/sup] и решением уравнения

будет функция

а решением уравнения

- функция

Тогда

- общее решение исходного уравнения. Частное решение (как и в предыдущем ответе) находим подстановкой значений из начальных условий.
давно
Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт
259041
7459
28.08.2020, 10:13
общий
Адресаты:
Большое Спасибо, Алексей Владимирович, за показ универсального метода Решения! Трудно запомнить его.
Вы уже показывали всем нам решения однородных уравнений с заменой переменной в консультациях rfpro.ru/question/198514 , rfpro.ru/question/197374 , rfpro.ru/question/198819 … Но как сделать удачную замену в текущей задаче? - я вчера вечером не мог сообразить, уставший был.

Вольфрам показал solution : y(x) = C1 / x2 + 1/x - легко догадаться, что перед взятием интеграла была замена на какое-то значение в квадрате. Иначе константа добавлялась бы как обычное слагаемое "+C" . Я пробовал варианты замен - заклинило…
А сегодня в 6 утра (по Владивостоку) вдруг осенило, потом я включил комп и увидел Ваше Решение.

Теперь я понял идею и рекомендую её всем дифур-чайникам: Если математики не отвечают в течение суток, читаем сомножитель константы в Вольфрам-решении:
Когда константа выражена как C1/x2 , значит после взятия интеграла было восстановление y = u/x2 , и нам надо делать предвари-замену u = y·x2 . Если увидим, например C1·[$8730$](x) , то заменять надо u = y / [$8730$](x) , и тд.
Дальше - просто: умножаем обе части исходного дифура y' + 2·y/x = 1/x2 на x2 :
y'·x2 + 2·y·x = 1
Дифференцируем замену : u' = (y·x2)' = y'·x2 + y·[(x2)'] = y'·x2 + 2·x·y
После замены получаем удивительно простой дифур : u' = 1 (проще не бывает!!)
Интегрируем его u = [$8747$]dx = x + C1
Производим восстановление (обратную замену) y = u / x2 = (x + C1) / x2 = 1/x + C1/x2 - Готово!
"Гениально то, что просто" или "Дуракам везёт!"

К сожалению, Вольфрам не всегда выдаёт правильное Решение. Примерно в 20% слуаев из тех труднейших, что решаете Вы или epimkin , американец выдаёт такие громоздко-несъедобные навороты, хоть убегай! Но он всегда на связи и быстро выдаёт идею. Например, если в поле "ODE names:" или в "ODE classification:" он подсказал "Separable equation", значит, мы имеем простейший дифур с разделяемыми переменными, и надо просто "покрутить" сомножители для разделения иксов и игреков в разные части уравнения, а затем проинтегрировать их отдельно.
Форма ответа