Здравствуйте, Андрей!
№3

Здравствуйте, Андрей!
4.
Неопределенность вида 0⁰.Обозначим функцию, стоящую под знаком предела через f(x) и найдем предел функции g(x)=lnf(x). Тогда f(x)=e^g(x) и limf(x)=e^limg(x).

Функцию g(x) перепишем в виде
g(x)=3(ch5x-1)ln(sh5x)=3ln(sh5x)/(ch5x-1)^-1
Теперь для g(x) мы имеем неопределенность вида [$8734$]/[$8734$] и раскрываем ее по правилу Лопиталя
limg(x)=lim((15ch5x/sh5x)/[-(ch5x-1)^-2(5sh5x)])=-3lim(ch5x-1)²/sh²5x
(здесь учтено, что limch5x=1)
Таким образом,
limg(x)=-3[lim(ch5x-1)/sh5x]²
Последний предел также вычисляем по правилу Лопиталя
lim(ch5x-1)/sh5x=lim(5sh5x)/(5ch5x)=0/1=0
Следовательно,
limg(x)=-3*(0)²=0
и
limf(x)=e⁰=1

Ответ: 1

Здравствуйте, Андрей!

№ 1. Требуется найти предел

где



При имеем



поэтому задана неопределённость вида

По правилу Лопиталя - Бернулли заменим отношение функций отношением их производных:



Снова применим то же правило:



Вам остаётся только проверить сделанные мной выкладки и извинить за возможные ошибки, которые могут быть при таких утомительных вычислениях. Во избежание недоразумений замечу, что под обозначением понимался натуральный логарифм, а гиперболические синус и косинус были обозначены как принято в англоязычной математической литературе в соответствии с особенностями редактора формул.

С уважением.