Здравствуйте, Евгений Капустин!
y^''-4y^'+3y=sin⁡(x)+e^x
Искомое решение имеет вид:
y(x)=y ̅(x)+y^* (x)
Составим характеристическое уравнение:
k^2-4k+3=0
Его корни равны:
k_1=1 и k_2=3
Следовательно, общее решение имеет вид:
y ̅(x)=C_1 e^x+C_2 e^3x
y^* (x) выберем в виде:
y^*=Axe^x+B cos⁡(x)+C sin⁡(x)
Находим производные:
y^' (x)=Axe^x+Ae^x-B sin⁡(x)+C cos⁡(x)
y^'' (x)=Axe^x+Ae^x+Ae^x-B cos⁡(x)-C sin⁡(x)
И подставляем в левую часть уравнения:
Axe^x+Ae^x+Ae^x-B cos⁡(x)-C sin⁡(x) -4(Axe^x+Ae^x-B sin⁡(x)+C cos⁡(x) )+3(Axe^x+Ae^x-B sin⁡(x)+C cos⁡(x) )=sin⁡(x)+e^x
-2Ae^x+cos⁡(x) (2B-4C)+sin⁡(x) (4B+2C)=e^x+sin⁡x
{█(-2A=1@2B-4C=0@4B+2C=1)┤
{█(A=-1/2@B=1/5@C=1/10)┤
y^*=-1/2 xe^x+1/5 cos⁡(x)+1/10 sin⁡(x)
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
y(x)=C_1 e^x+C_2 e^3x-1/2 xe^x+1/5 cos⁡(x)+1/10 sin⁡(x)