Здравствуйте, Даша!

Векторы A[sub]1[/sub], A[sub]2[/sub], A[sub]3[/sub] образуют базис, если они линейно независимы, то есть если равенство [$945$][sub]1[/sub]A[sub]1[/sub] + [$945$][sub]2[/sub]A[sub]2[/sub] + [$945$][sub]3[/sub]A[sub]3[/sub] = 0 выполняется лишь при [$945$][sub]1[/sub] = [$945$][sub]2[/sub] = [$945$][sub]3[/sub] = 0. Другими словами, система

должна иметь единственное нулевое решение. Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. В данном случае имеем

то есть A[sub]1[/sub], A[sub]2[/sub], A[sub]3[/sub] образуют базис. Тогда вектор B может быть записан в этом базисе в виде B = [$945$][sub]1[/sub]A[sub]1[/sub] + [$945$][sub]2[/sub]A[sub]2[/sub] + [$945$][sub]3[/sub]A[sub]3[/sub]. Координаты вектора B можно найти, решив систему:

Вычитая из третьего уравнения первое и второе, получаем [$945$][sub]2[/sub] = -4. После подстановки система принимает вид

откуда [$945$][sub]1[/sub] = 6 и [$945$][sub]3[/sub] = -5

Итак, B = 6A[sub]1[/sub] - 4A[sub]2[/sub] - 5A[sub]3[/sub].

Проверка: 6(3,5,8) - 4(5,-3,3) - 5(2,6,8) = (18-20-10, 30+12-30, 48-12-40) = (-12, 12, -4).

Здравствуйте, Даша!

Составим матрицу из координат векторов и с помощью прямого хода метода Гаусса приведём её к треугольному виду:


Отсюда устанавливаем, что ранг матрицы равен 3 (её определитель равен [$916$] = 3 [$183$] (-34/3) [$183$] 8/34 = -8 [$8800$] 0), а значит, ранг указанной системы векторов равен 3. Поскольку система содержит 3 вектора, то она линейно независима и образует базис.

Найдём коэффициенты разложения

Подставляя координаты векторов в это равенство, получим следующую систему уравнений:

которую решим, например, способом Крамера:





(для нахождения определителей удобно воспользоваться электронной таблицей MS Excel).

Итак, искомое разложение имеет следующий вид:


С уважением.